Source Latex
de la correction du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le: %
% samedi 10 mars 2012 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[10pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item Soit la fonction $h$ d\'efinie sur $I$ par
$h(x)=f(x)-g(x)$.
Alors, pour tout $x\in I$, $h'(x)=f'(x)-g'(x)$,
et donc, comme $f'(x)\leqslant g'(x)$,
pour tout $x\in I$, $h'(x)\leqslant 0$.
On en d\'eduit que la fonction $h$ est d\'ecroissante sur $I$.
On sait de plus que $h(0)=f(0)-g(0)=0$, et donc le tableau de
variation de $h$:
\[
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ &\ \ &$1$ \\\hline
&0&&\\
$h(x)$ && \psline{->}(-0.3,0.5)(0.6,-0.3)&\\
&&&\\\hline
\end{tabular}
\]
On en d\'eduit en particulier que pour tout $x\in I$,
$h(x)=f(x)-g(x)\leqslant 0$,
c'est-\`a-dire que $f(x)\leqslant g(x)$.
\item Soit $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $g(x)=2x^3+1$.
On a $f(0)=g(0)=1$.
De plus, pour tout $x\in I$,
$f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$ et $g'(x)=6x^2$,
d'o\`u,
\[f'(x)-g'(x)
=-\dfrac{1}{\lp1+x\rp^2}-6x^2
=-\lp \dfrac{1}{\lp1+x\rp^2}+6x^2 \rp
\]
Or, pour tout $x\in[0;1]$, $6x^2\geqslant 0$ et
$\dfrac{1}{(1+x)^2}>0$.
On a donc, pour tout $x\in I$, $f'(x)-g'(x)<0 \iff f'(x)<g'(x)$.
On en d\'eduit donc, d'apr\`es la question 1.,
que pour tout $x\in I$, $f(x)\leqslant g(x)$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
\[
f'(x)
=\dfrac{(2x+a)(x-2)-(x^2+ax+b)}{(x-2)^2}
=\dfrac{x^2-4x-2a-b}{(x-2)^2}
\]
\item La tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 3 a pour
\'equation:
$y=f'(3)(x-3)+f(3)=f'(3)x-3f'(3)+f(3)$.
On doit donc avoir, pour cette tangente ait pour \'equation $y=8$,
$\la\bgar{ll}
f'(3)=0 \\
-3f'(3)+f(3)=8
\enar\right.$
soit,
$
\la\bgar{ll}
f'(3)=0 \\
f(3)=8
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
-3-2a-b=0 \\
9+3a+b=8
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
2a+b=-3 \\
3a+b=-1
\enar\right.
\iff$
\fbox{
$\la\bgar{ll}
a=2 \\
b=-7
\enar\right.$}
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item $f$ est une fonction polyn\^ome du troisi\`eme degr\'e d\'efinie et
d\'erivable sur $\R$, avec, pour tout $x$ r\'eel,
$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
On en d\'eduit le tableau de variation de $f$:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
&&&$-1$&&&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,-0.3)(0.3,0.4)
&&\psline{->}(-0.4,0.4)(0.4,-0.3)
&&
\psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.4)&
\\
&&&&&$-5$&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\item $T$ a pour \'equation: $y=f'(0)(x-0)+f(0)=-3x-3$.
\item \ \\
\begin{pspicture}(-3.5,-7.5)(4,2)
\psline{->}(-3.5,0)(3.5,0)
\psline{->}(0,-7.6)(0,1.6)
%
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-7.2)(\i,1.2)
\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=-7+1}{9}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-3.2,\i)(3.2,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
%
\psplot[linewidth=1.3pt]{-2.25}{2.25}{x 3 exp -3 x mul add -3 add}
\rput(-2.3,-4.7){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[linewidth=1.3pt]{-1.4}{1.5}{-3 x mul -3 add}
\rput(1.6,-6.7){$T$}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-2.3,-1)(0.4,-1)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(.1,-5)(1.9,-5)
\end{pspicture}
\item Sur $[2;3]$, la fonction $f$ est d\'erivable, strictement
croissante, avec $f(2)=-1<0$ et $f(3)=15>0$.
On en d\'eduit, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, que
l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans
l'intervalle $[2;3]$.
A l'aide de la calculatrice, on trouve que $f(2,10)\simeq -0,039$ et
$f(2,11)\simeq 0,06$, et donc que
$2,10<\alpha<2,11$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $D(x;y)$.
Alors $\V{BD}(x+2;y+4)$ et $\V{AB}(-4;-10)$,
d'o\`u,
$\V{BD}=\dfrac{3}{2}\V{AB}
\iff
\la\bgar{ll}
x+2=\dfrac{3}{2}(-4)=-6 \\[0.3cm]
y+4=\dfrac{3}{2}(-10)=-15
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
x=-8 \\
y=-19
\enar\right.
$.
Les coordonn\'ees de $D$ sont donc $D(-8;-19)$.
\item On a $\V{AB}(-4;-10)$ et $\V{CD}(-5;2)$,
d'o\`u,
$\V{AB}\cdot\V{CD}=(-4)\tm(-5)+(-10)\tm(2)
=0$.
Les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont donc orthogonaux, et les
droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
\item Le milieu de $[AB]$ est $I(0;1)$.
Soit $M(x;y)$, alors $\V{IM}(x;y-1)$,
et $M$ appartient \`a la m\'ediatrice de $[AB]$ si et seulement si
$\V{IM}\cdot\V{AB}=0
\iff
x\tm(-4)+(y-1)\tm(-10)=0
\iff
-4x-10y+10=0$.
Une \'equation de la m\'ediatrice de $[AB]$ est donc:
$-4x-10y+10=0$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item
\bgen[a.]
\item
$\V{MA}\cdot\V{MB}
=\lp\V{MI}+\V{IA}\rp\cdot\lp\V{MI}+\V{IB}\rp
=MI^2+\V{MI}\cdot\lp \V{IA}+\V{IB}\rp+\V{IA}\cdot\V{IB}
$
or, $\V{IA}+\V{IB}=\V{O}$ car $I$ est le milieu de $[AB]$,
et de m\^eme $\V{IA}\cdot\V{IB}=\V{IA}\cdot\lp -\V{IA}\rp=-IA^2$.
On a donc bien ainsi,
$\V{MA}\cdot\V{MB}=MI^2-IA^2$.
\item On a alors,
$M\in\mathcal{E}
\iff \V{MA}\cdot\V{MB}=7
\iff MI^2-IA^2=7
$
or, $IA=\dfrac{AB}{2}=3$, d'o\`u $IA^2=9$,
et donc,
$M\in\mathcal{E}\iff MI^2=7+IA^2=16$.
\item $\mathcal{E}$ est donc le cercle de centre $I$ et de rayon
$\sqrt{16}=4$.
\enen
\item En proc\'edant comme pr\'ec\'edemment, on a:
$M\in\mathcal{F}
\iff \V{MA}\cdot\V{MA}=-10
\iff MI^2-IA^2=-10
\iff MI^2=-10+IA^2=-10+9=-1
$
ce qui est impossible car pour tout point $M$, \ $MI^2\geqslant 0$.
Ainsi l'ensemble $\mathcal{F}$ est vide: $\mathcal{F}=\emptyset$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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