Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Fonctions: tangentes et asymptotes, barycentres
Première S
Fonctions: tangentes et asymptotes, barycentres
Devoir maison de mathématiques, première S: calcul de limites de fonctions, asymptote, variation d'une fonction, aire d'un triangle construit à partir de l'hyperbole de la fonction inverse, barycentres.- Fichier
- Type: Devoir
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- Description
- Devoir maison de mathématiques, première S: calcul de limites de fonctions, asymptote, variation d'une fonction, aire d'un triangle construit à partir de l'hyperbole de la fonction inverse, barycentres.
- Niveau
- Première S
- Mots clé
- devoir corrigé de mathématiques, barycentre, étude de fonction, limite, dérivée, tangente, asymptote, maths, 1S, première S,
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \headheight=0cm \textheight=27cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1.cm \topmargin=-1.5cm \setlength{\unitlength}{1cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \thispagestyle{empty} \vspace*{-1.5cm} $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir Surveill�}} %\vspd\vspd \bgex 1) Calculer les limites en $+\infty$ des fonctions suivantes: \vspd \begin{tabular}{lll} a) $\dsp f(x)=3x-12 + \frac{6x}{x^2-2}$ & b) $\dsp g(x)=\frac{3x^3+2x^2-18x+37}{4x^3-56x^2+2}$ & c) $\dsp h(x)=\frac{\sqrt{x}+3}{x-9}$ \vspd\\ d) $\dsp k(x)=\sqrt{x^2-6x}-x$ & e) $\dsp l(x)=\frac{(x-1)^2}{1-2x^2}$ \end{tabular} \vspd\noindent 2) Montrer que la droite $\Delta:y=3x-12$ est asymptote � la courbe repr�sentative de la fonction $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. \enex \bgex Associer � chacune des trois fonctions suivantes sa courbe repr�sentative. (Justifier) \bgmp{4cm} $\dsp f(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$\vspd $\dsp g(x)=\frac{x^2-1}{x}$\vspd $\dsp h(x)=\frac{x-1}{x}$ \enmp \begin{tabular}{ccc} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psline{->}(-4,0)(4,0) \psline{->}(0,-4)(0,4) \psplot{-3}{-0.25}{x x mul 1 sub x div} \psplot{0.22}{3}{x x mul 1 sub x div} \rput(-1.5,1){$\mathcal{C}_1$} \end{pspicture} & \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,2) \psline{->}(-4,0)(4,0) \psline{->}(0,-4)(0,2) \psplot{-4}{-0.45}{x x mul 1 sub x x mul div} \psplot{0.45}{4}{x x mul 1 sub x x mul div} \rput(-2,1.5){$\mathcal{C}_2$} \end{pspicture} & \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psline{->}(-4,0)(4,0) \psline{->}(0,-4)(0,4) \psplot{-4}{-0.3}{x 1 sub x div} \psplot{0.2}{4}{x 1 sub x div} \rput(-1.5,1.){$\mathcal{C}_3$} \end{pspicture} \end{tabular} \enex \vspace{-0.4cm} \bgex Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression $\dsp f(x)=\frac{x}{(x-1)(x-4)}$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe repr�sentative de la fonction $f$ dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$. \vsp \bgit \item[1)] Dresser le tableau de variations de $f$. \vsp \item[2)] D�terminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de d�finition. Pr�ciser les �ventuelles asymptotes � $\mathcal{C}_f$. \vsp \item[3)] Tracer $\mathcal{C}_f$, puis discuter graphiquement, selon les valeurs du nombre r�el $m$, le nombre de solutions de l'�quation \mbox{$f(x)=m$}. \enit \enex \bgex \vspace{-1.8cm} \bgmp{9.5cm} On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0;+\infty[$ par $\dsp f(x)=\frac{1}{x}$, et $\mathcal{H}$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$. \vspd On note, pour $a>1$, $(T_a)$ la tangente � $\mathcal{H}$ au point d'abscisse $a$ et $(T_{\frac{1}{a}})$ la tangente � $\mathcal{H}$ au point d'abscisse $\dsp\frac{1}{a}$. \vspd Soit de plus $A$ le point d'intersection de $(T_a)$ et de la droite $(\Delta):y=x$, $B$ et $C$ les points d'intersection respectifs de $(T_{\frac{1}{a}})$ et de $(T_a)$ et de l'axe des abscisses. \enmp \bgmp{8cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(5,4.5) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.8,0)(4.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-.5)(0,4.2) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psplot[linewidth=1.2pt]{0.25}{4}{1 x div} \rput(0.5,4){$\mathcal{H}$} \psplot[linewidth=1.2pt]{-0.5}{3}{x} \rput(3.7,3){$(\Delta): y=x$} % a=1.7 \psplot[linewidth=1.pt]{-0.25}{4}{-1 1.7 1.7 mul div x mul 2 1.7 div add} \rput(-0.4,1.5){$(T_a)$} \psplot[linewidth=1.pt]{-0.25}{1.3}{-1.7 1.7 mul x mul 2 1.7 mul add} \rput(-0.4,3.6){$(T_{\frac{1}{a}})$} \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.59) \rput(1.7,-0.2){$a$} \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.59,0)(0.59,1.7) \rput(0.59,-0.3){$\frac{1}{a}$} \rput(0.8,0.65){$A$} \rput(1.3,0.15){$B$} \rput(3.3,-0.15){$C$} \end{pspicture} \enmp \vspace{-1.8cm} \bgit \item[1)] D�terminer les �quations des tangentes $(T_a)$ et $(T_{\frac{1}{a}})$, puis d�terminer les coordonn�es des points $B$ et $C$. \vspd \item[2)] D�terminer les coordonn�es du point $A$, et montrer que $A$ est � l'intersection des droites $(\Delta)$, $(T_a)$ et $(T_{\frac{1}{a}})$. \vspd \item[3)] D�terminer l'aire $S(a)$ du triangle $ABC$. \vspd \item[4)] Etudier la limite de l'aire $S(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$. \enit \enex \bgex Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. \bgit \item[1.] Placer les points suivants: \bgit \item[a)] $G$ barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$ et $(C,3)$. \item[b)] $I$ barycentre de $(A,1)$ et $(B,2)$. \item[c)] $H$ barycentre de $(I,1)$ et $(C,1)$. \enit \vsp \item[2.] Que remarque-t-on ? Etait-ce pr�visible (Expliquer). \enit \enex \end{document}
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