Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Second degré et factorisation d'un polynôme

Première S

Second degré et factorisation d'un polynôme

Devoir corrigé de mathématiques, première S: second degré et 3ème degré. Intersection de deux paraboles dépendant d'un paramètre
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: second degré et 3ème degré. Intersection de deux paraboles dépendant d'un paramètre
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, second degré, troisième degré, trinome du second degré, équation du 2nd degré, signe d'un trinome, factorisation des polynômes, inéquation du 2nd degré, maths, 1S, première S,

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: second degré et polynomes},
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      devoir, second degré, 2nd degré, polynome, polynôme, 
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% Raccourcis diverses:
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths - 1èreS}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-.2cm}
\setcounter{nex}{0}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
$2+\dfrac{3}{x-4}\geqslant\dfrac{1}{2-x}
\iff
\dfrac{-2x^2+8x-6}{(x-4)(2-x)}\geqslant0
\iff 
\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}\geqslant0$.\\
Le trin\^ome du 2nd degré au numérateur a un discriminant 
$\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines 
$x_1=1$ et $x_2=3$. 

Le trin\^ome du 2nd degré du dénominateur a comme racines 
évidentes 2 et 4. 
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3& &4& &$+\infty$ 
\\\hline
$-x^2+4x-3$&   &-& \zb&+&      $|$    &+&\zb&$-$& $|$ &$-$&\\\hline
$(x-4)(2-x)$& &-& $|$ &-& \zb &+&$|$&+& \zb & -&\\\hline
$\dfrac{-x^2+4x-3}{(x-4)(2-x)}$
& &+& \zb &-& \db &+&\zb&-& \db & +&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi, $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup]2;3]\cup]4;+\infty[$.
\enex

\bgex
On considère le polyn\^ome $P$ défini par 
$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$. 

\bgen
\item $P(1)=1-6+11-6=0$ et donc  1 est bien une racine de $P$. 
\item $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$ 
  et donc 
  $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\iff 
  \la\bgar{ll}
  a=1\\
  b-a=-6\\
  c-b=11\\
  -c=-6
  \enar\right.$. 

  On trouve donc $a=1$, $b=-5$ et $c=6$, 
  ou encore 
  $P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$. 
\item $Q(x)=x^2-5x+6$ est un trin\^ome du second degré de 
  discriminant $\Delta=1>0$ et admet donc deux racines 
  $x_1=2$ et $x_2=3$. 
  On a alors le tableau de signes: 
  \[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
  $x$ & $-\infty$ & &1& &2& &3&  &$+\infty$ 
  \\\hline
  $x-1$&   &-& \zb&+&      $|$    &+&\zb &$+$&\\\hline
  $Q(x)$& &+& $|$ &+& \zb &-&\zb&+& \\\hline
  $P(x)$& &-& \zb &+& \zb &-&$|$&+& \\\hline
  \end{tabular}
  \]
  On a alors $P(x)\geqslant0\iff x\in[1;2]\cup[3;+\infty[$.
\enen
\enex


\bgex
Si $M(x;y)$ est un éventuel point d'intersection, 
alors $y=f(x)=g(x)$, soit donc l'équation 
$(E): 2x^2+mx=x^2+3x-m\iff x^2+(m-3)x+m=0$. 

Le discriminant de cette équation du second degré est 
$\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9$. 

On veut que $(E)$ ait une unique solution, 
donc que $\Delta=0$. 

$\Delta$ est expression du second degré de discriminant 
$\delta=10^2-4\tm9=64=8^2>0$ et admet donc deux racines 
$m_1=1$ et $m_2=9$. 

Pour $m=1$, $(E)$ s'écrit $x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0$. 
Ainsi $x=1$ et $y=f(1)=g(1)=3$ 
et $M(1;3)$ est l'unique point d'intersection. 

Pour $m=9$, $(E)$ s'écrit $x^2+6x+9=0\iff (x+3)^2=0$. 
Ainsi $x=-3$ et $y=f(-3)=g(-3)=-9$ 
et $M(-3;-9)$ est l'unique point d'intersection. 
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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