Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de math�matiques},
pdftitle={Devoir de math�matiques - 1�re S},
pdfkeywords={Math�matiques, 1�reS, 1S, premi�re S,
devoir, DS, DM,
second degr�, polyn�me,
droite, droites,
�quation de droites, vecteurs
}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
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\oddsidemargin=-1cm
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\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\fbox{\bgmp{\textwidth}
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\enmp}
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\vspq\noindent
\fbox{\bgmp{\textwidth}
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp\enmp}
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
%\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{\TITLE{} - $1^{\text{�re}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill
\vspq
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=x^2+3x+\dfrac{5}{2}$.
\bgen
\item Ecrire $f$ sous forme canonique.
\item En d�duire, sans le calculer, le signe du discriminant $\Delta$
de $f$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re le polyn�me $P(X)=X^3-2X^2-19X+20$.
\bgen
\item Rechercher une racine �vidente de $P$, puis en d�duire une
factorisation de $P$.
\item D�terminer le signe de $P(X)$.
\item R�soudre l'in�quation
$X^6-2X^4-19X^2+20>0$.
\item R�soudre l'in�quation:
$x-\dfrac{3x^2+13x-20}{x^2+x-6}\geqslant 0$
\enen
\enex
\bgex
On consid�re dans un rep�re la courbe $\Cf$ repr�sentative de la
fonction $f$ d�finie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=-x^2+2x+2$. \\
Pour tout r�el $m$, on note $D_m$ la droite d'�quation
$y=(m+3)x+6$.
\vspd\noindent
Discuter, en fonction du param�tre $m$, le nombre de points
d'intersection de la droite $D_m$ et de la courbe $\Cf$.
\enex
\bgex
Dans un rep�re orthonorm�, on donne les points
$A(1;-2)$, $B(2;3)$ et $C(-2;8)$
et le vecteur $\vec{u}\lp\bgar{c} -2 \\ 3\enar\rp$.
Soit de plus $d$ la droite d'�quation $-4x+y+2=0$.
\bgen
\item Sur une figure placer ces trois points,
tracer la droite $d$, et repr�senter le vecteur $\vec{u}$.
\item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d_1$ passant
par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$, puis la tracer sur la
figure.
\item D�terminer une �quation de la droite $d_2$ parall�le � $d$ et
passant par $C$ puis la tracer.
\item Justifier que les droites $d_1$ et $d_2$ sont s�cantes, puis
d�terminer les coordonn�es de leur point d'intersection $I$.
\item Calculer $AB$.
\item Quelle est la nature du triangle $ABI$ ?
\item On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre $B$ et rayon $AB$.
\bgen[a)]
\item Soit $M(x;y)$ un point du cercle $\mathcal{C}$.
Montrer que les coordonn�es du point $M$ v�rifient l'�quation
$(x-2)^2+(y-3)^2=26$.
\item D�terminer le nombre de points d'intersection du cercle
$\mathcal{C}$ et de la droite $d$.
\enen
\enen
\enex
%\bgex
%D�terminer $m$ tel que les droites $d$ et $d'$ d'�quations
%$mx+3y+4=0$ et $2x+(m+1)y-1=0$ soient parall�les.
%\enex
\end{document}
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