Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Barycentres, produit scalaire, et fonctions
Première S
Barycentres, produit scalaire, et fonctions
Devoir maison de mathématiques, première S: barycentres et lieux de points:lignes de niveau. Étude fonctions: dérivée, tangente, limites et asymptote oblique- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
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- Devoir maison de mathématiques, première S: barycentres et lieux de points:lignes de niveau. Étude fonctions: dérivée, tangente, limites et asymptote oblique
- Niveau
- Première S
- Mots clé
- devoir corrigé de mathématiques, barycentre, ligne de niveau, étude de fonction, limite, dérivée, tangente, asymptote, maths, 1S, première S,
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \headheight=0cm \textheight=27.2cm \textwidth=18.5cm \oddsidemargin=-1.5cm \topmargin=-2.2cm \setlength{\unitlength}{1cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \pagestyle{empty} %\vspace*{-1.5cm} $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Correction du devoir de math�matiques}} \bgex \bgit \item[1)] Pour tout point $M$ du plan, $-\V{MA}+4\V{MB}=3\V{MI}$, soit, en choisissant $M=A$, \ul{$\dsp \V{AI}=\frac{4}{3}\V{AB}$}. \vsp \item[2)] Pour tout point $M$ du plan, $2\V{MC}+\V{MD}=3\V{MJ}$, soit, en choisissant $M=C$, \ul{$\dsp \V{CJ}=\frac{1}{3}\V{CD}$}. \bgmp{11.5cm} \item[3)] Par associativit�, $G$ est le barycentre de $\la (I;3), (J;3)\ra$, donc $G$ est l'isobarycentre de $I$ et $J$, ou encore $G$ est le milieu de $[IJ]$. \vspd \item[4)] Pour tout point $M$ du plan, $-\V{MA}+4\V{MB}=3\V{MI}$, et $2\V{MC}+\V{MD}=3\V{MJ}$. Ainsi, $\| -\V{MA}+4\V{MB}\|=\| 2\V{MC}+\V{MD}\| \Longleftrightarrow \| 3\V{MI}\|=\| 3\V{MJ}\|$ $\Longleftrightarrow MI=MJ$. \ul{L'ensemble $\Delta$ est donc la m�diatrice de $[IJ]$.} \enmp\hspace{0.3cm} \bgmp{6cm} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,0)(6,4.5) \rput(0,0){$\tm$}\rput(-0.4,0){$A$} \rput(3,3){$\tm$}\rput(2.6,3){$B$} \rput(4,4){$\tm$}\rput(3.6,4){$I$} \rput(4,1){$\tm$}\rput(4.3,1){$C$} \rput(6,3){$\tm$}\rput(6.3,3){$D$} \rput(4.6666,1.6666){$\tm$}\rput(5,1.6666){$J$} \rput(4.3333,2.83333){$\tm$}\rput(4.65,2.83333){$G$} \pspolygon[linewidth=0.8pt](4,1)(0,0)(3,3)(6,3) \psline[linewidth=0.8pt](4,4)(4.6666,1.6666) \psline[linewidth=0.8pt](3,3)(4,4) \end{pspicture} \enmp \enit \enex \bgex \bgit \item[1)] Si le point $M$ est sur la droite $(AB)$, alors les vecteurs $\V{MA}$ et $\V{MB}$ sont colin�aires, et donc $MB=2MA$ pour $\V{MB}=2\V{MA}$ ou $\V{MB}=-2\V{MA}$. Il y a donc deux possibilit�s: $\V{RB}=2\V{RA}$, soit $\V{RB}-2\V{RA}=\V{0}$, et $R$ est le barycentre de $(A;-2)$ et $(B;1)$, ou $\V{SB}=-2\V{SA}$, soit $\V{SB}+2\V{SA}=\V{0}$, et $S$ est le barycentre de $(A;2)$ et $(B;1)$. \vspd \item[2)] Pour tout point $M$, $MB=2MA \Longleftrightarrow MB^2=4MA^2 \Longleftrightarrow \V{MB}^2=4\V{MA}^2 \Longleftrightarrow \V{MB}^2-4\V{MA}^2=0\\ \Longleftrightarrow \lp\V{MB}-2\V{MA}\rp\cdot\lp\V{MB}+2\V{MA}\rp=0 $ \vspace{-0.1cm} \item[3)] Comme $S$ est le barycentre de $(A;2)$ et $(B;1)$, \ul{pour tout point $M$, $\V{MB}+2\V{MA}=3\V{MS}$}; et de m�me, \ul{pour tout point $M$, $\V{MB}-2\V{MA}=-\V{MR}$}. \vspd Ainsi, $MB=2MA\Longleftrightarrow \lp\V{MB}-2\V{MA}\rp\cdot\lp\V{MB}+2\V{MA}\rp=0 \Longleftrightarrow -\V{MR}\cdot\lp 3\V{MS}\rp=0 \Longleftrightarrow \V{MR}\cdot \V{MS}=0 $. On en d�duit donc que les vecteurs $\V{MR}$ et $\V{MS}$ sont orthogonaux, et donc que l'ensemble $\mathcal{T}$ des points $M$ recherch�s est le cercle de diam�tre $[RS]$. \enit \enex \bgex \bgit \item[1)] On a $\V{DA}+\V{DC}=\V{DB}$, soit $\V{DA}+\V{DB}-\V{DC}=\V{0}$: \ul{$D$ est le barycentre de $(A;1)$, $(B;-1)$ et $(C;1)$}. \item[2)] Pour tout point $M$ du plan, on a $\V{MA} + \V{MC}=2\V{MI}$ et $\V{MA} - \V{MB} +\V{MC}=\V{MD}$, et donc $\|\V{MA} + \V{MC}\| = 2 \| \V{MA} - \V{MB} +\V{MC} \| \Longleftrightarrow 2MI=2MD \Longleftrightarrow MI=MD$. On en d�duit donc que l'ensemble E est la m�diatrice de la droite $(ID)$. \vspd \item[3)] Pour tout point $M$ du plan, $\bgar{ll} MA^2 - MB^2 + MC^2 &= \V{MA}^2 - \V{MB}^2 + \V{MC}^2 \\ &= \lp\V{MD}+\V{DA}\rp^2 - \lp\V{MD}+\V{DB}\rp^2 + \lp\V{MD}+\V{DC}\rp^2\\ &=MD^2+2\V{MD}\cdot\lp\underbrace{\V{DA}-\V{DB}+\V{DC}}\rp^2+DA^2-DB^2+DC^2\\ &\hspace{4.4cm}=\V{0} \enar$ d'o�, $MA^2 - MB^2 + MC^2 = BD^2 \Longleftrightarrow MD^2=BD^2-DA^2+DB^2-DC^2$: \ul{l'ensemble F est le cercle de centre $D$ et de rayon $BD^2-DA^2+DB^2-DC^2$}. \enit \enex \bgex \bgit \item[1)] L'ensemble de d�finition de $f$ est $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la2\ra$. $f$ est une fonction rationnelle, et donc, $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}=-\infty$, et de m�me, $\dsp \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty$. $\dsp \lim_{x\to2}x^2=4$ et $\dsp\lim_{x\to2^-}(2x-4)=0^-$, d'o�, $\dsp\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$. De m�me, $\dsp\lim_{x\to2^+}(2x-4)=0^+$, d'o�, $\dsp\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$. On en d�duit que \ul{la droite d'�quation $x=2$ est asymptote verticale � $\mathcal{C}_f$}. \vspd \bgmp{9cm} \item[2)] $f$ est le quotient des fonctions $x\mapsto x^2$ et \mbox{$x\mapsto 2x-4$} qui sont d�rivables sur $\R$. De plus $2x-4=0\Longleftrightarrow x=2$, et donc, on en d�duit que la fonction $f$ est d�rivable sur $\R\setminus\la2\ra$. \vsp Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$, $\bgar{ll} \dsp f'(x)&=\dsp\frac{2x(2x-4)-x^2\tm2}{(2x-4)^2}\\ &\dsp=\frac{2x^2-8x}{(2x-4)^2} =2x\frac{x-4}{(2x-4)^2} \enar$ \enmp\hspace{0.4cm} \bgmp{6cm} %\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline \begin{tabular}{|c|*{8}{p{0.25cm}}p{0.5cm}|}\hline $x$ & $-\infty$ && $0$ && $2$ && $4$ && $+\infty$ \\\hline $2x$& &$-$ &\zb& $+$ &$|$ &$+$&$|$&$+$&\\\hline $x-4$& &$-$ &$|$& $-$ &$|$& $-$& \zb & $+$ &\\\hline $(2x-4)^2$& &$+$&$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$&&$+$&\zb&$-$&\db&$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&$0$&&&&&&$+\infty$\\ $f(x)$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$} &\psline[linewidth=0.6pt](0,0.75)(0,-0.5) \psline[linewidth=0.6pt](0.1,0.75)(0.1,-0.5) &\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &$-\infty$&&&&&&$4$&&\\\hline \end{tabular} \enmp \vspd \item[3)] Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$, $\dsp f(x)=\frac{1}{2}x+1+\frac{4}{2x-4}$ \vsp \item[4)] D'apr�s la question pr�c�dente, on a, $\dsp f(x)-\lp\frac{1}{2}x+1\rp=\frac{4}{2x-4}$ et donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-\lp\frac{1}{2}x+1\rp\rb =\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{2x}=0$, ainsi que $\dsp\lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-\lp\frac{1}{2}x+1\rp\rb=0$. On en d�duit que \ul{$\Delta$ est asymptote oblique � $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$}. \vspd \item[5)] Les �quations des tangentes sont: en $x=1$, $\dsp (T_1): y=f'(1)(x-1)+f(1)=-\frac{3}{2}(x-1)-\frac{1}{2} =-\frac{3}{2}x+1$. Soit \ul{$(T_1):y=-\frac{3}{2}x+1$}. \vspd en $x=3$, $\dsp (T_2): y=f'(3)(x-3)+f(3)=-\frac{3}{2}(x-3)+\frac{9}{2} =-\frac{3}{2}x+9$. Soit \ul{$(T_2):y=-\frac{3}{2}x+9$}. \item[6)]\ \\\vspace{-0.7cm} \hspace{-1cm} \bgmp{8cm} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-5,-8.5)(9,10.5) \psline[linewidth=0.7pt]{->}(-5.5,0)(9.5,0) \psline[linewidth=0.7pt]{->}(0,-8.5)(0,10.5) \multido{\i=-8+1}{19}{ \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-5,\i)(9,\i) \rput(-0.4,\i){\i} } \multido{\i=-5+1}{15}{ \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-8)(\i,10) \rput(\i,-0.4){\i} } \psplot[linewidth=1.6pt]{-5}{1.8}{ x x mul 2 x mul -4 add div } \psplot[linewidth=1.6pt]{2.25}{9}{ x x mul 2 x mul -4 add div } \psplot[linewidth=1pt]{-5}{9}{x 2 div 1 add} \psline[linewidth=1.4pt](2,-8.1)(2,10.1) \psline[linewidth=1pt]{<->}(-1.5,0)(1.5,0) \psline[linewidth=1pt]{<->}(2.5,4)(5.5,4) \rput(7.5,4.3){$(\Delta)$} \psplot[linewidth=1pt]{-5}{6}{-1.5 x mul 1 add} \rput(-2.5,5.5){$(T_1)$} \psplot[linewidth=1pt]{-0.5}{9}{-1.5 x mul 9 add} \rput(7.5,-3.5){$(T_2)$} \end{pspicture} \enmp\hspace{1cm} \bgmp{9.1cm} \item[7)] \ul{Graphiquement}, pour $m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty$, l'�quation $f(x)=m$ admet deux solutions; pour $m=0$ et $m=4$ l'�quation admet une unique solution, tandis que pour $m\in]0;4[$ elle n'admet aucune solution. \vspq \ul{Alg�briquement}, pour $x\not= 2$, $\dsp f(x)=m \Longleftrightarrow \frac{x^2}{2x-4}=m \Longleftrightarrow x^2-2mx+4m=0$ \vspd Cette �quation du second degr� admet pour discriminant $\Delta= 4m^2-16m=4m(m-4)$. $\Delta$ est un trin�me du second degr� qui admet $m=0$ et $m=4$ comme racines, et donc, si $m\in]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$, $\Delta>0$ et l'�quation $f(x)=m$ admet deux solutions r�elles distinctes; si $m\in]0;4[$, $\Delta<0$ et l'�quation $f(x)=m$ n'admet aucune solution, tandis que si $m=0$ ou $m=4$, on a $\Delta=0$, et donc l'�quation $f(x)=m$ admet une unique solution. \enmp \enit \enex \end{document}
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