Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
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\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.2cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir � la maison}}
\vspd
%\vspd
\bgex
Le but de cet exercice est d'effectuer le tracer de la courbe
$\mathcal{C}_f$
repr�sentative de la fonction $f$, o� la fonction est d�finie par
l'expression:
\[ f(x)=\frac{x^3+20x}{x^2+2}
\]
\bgit
\item[1)] Montrer que la fonction $f$ est impaire. Sur quel ensemble
suffit-il de l'�tudier ? (justifier)
\vspt
\item[2)] Etude des variations de $f$.
\bgit
\item[a)] Montrer que $\dsp f'(x)=\frac{x^4-14x^2+40}{(x^2+2)^2}$.
\vspd
\item[b)] Etudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de
variations de $f$.
\enit
\vspt
\item[3)] D�terminer les �quations des tangentes en $0$, $1$, $2$,
$\sqrt{6}$ et $\sqrt{10}$.
\vspt
\item[4)] Position relative de la courbe par rapport � la tangente en
$\sqrt{6}$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Soit
$\dsp P(x)=8(x^2+2)
\lb f(x)-\lp-\frac{1}{8}x+\frac{27}{8}\sqrt{6}\rp\rb$.
Montrer que
$\dsp P(x)=9x^3-27\sqrt{6}x^2+162x-54\sqrt{6}$.
\vspd
\item[b)] Calculer $P(\sqrt{6})$.
\vspd
\item[c)] Factoriser $P$.
\vspd
\item[d)] En d�duire le signe de
$\dsp f(x)-\lp-\frac{1}{8}x+\frac{27}{8}\sqrt{6}\rp$, puis la
positon relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport � sa tangente en
$\sqrt{6}$.
\enit
\vspt
\item[5)] Tracer dans un rep�re orthonormal, avec 2 cm pour unit�, les
tangentes � $\mathcal{C}_f$ en $0$, $1$, $2$,
$\sqrt{6}$ et $\sqrt{10}$.
\vspd
Tracer ensuite la courbe $\mathcal{C}_f$ en utilisant tous les
�l�ments de l'�tude pr�c�dente (on pourra �ventuellement ajouter
quelques points).
\enit
\enex
\vspq
\bgex ({\it Distance d'un point � une parabole}).
Dans un rep�re orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, $\mathcal{P}$ est la
parabole d'�quation $y=x^2$ et $A$ le point de coordonn�es $(2;0)$.
Le but de l'exercice est de trouver $M$ sur $\mathcal{P}$ tel que la
distance $AM$ soit minimale.
\vspd
\bgit
\item[1.] On note $x$ l'abscisse d'un point $M$ de
$\mathcal{P}$. V�rifier que $AM^2=x^4+x^2-4x+4$.
\vspd
\item[2.] Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
$f(x)=x^4+x^2-4x+4$.
Justifier que $f'(x)$ est du signe de $2x^3+x-2$.
\vspd
\item[3.] On note $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
$g(x)=2x^3+x-2$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Etudier les variations de $g$ et dresser son tableau de
variations.
\vspd
\item[b)] D�montrer que l'�quation $g(x)=0$ admet une unique
solution $\alpha$ et que $0<\alpha<1$.
\vsp
\enit
\vspd
\item[4.]
\bgit
\item[a)] D�duire de ce qui pr�c�de les variations de $f$ et dresser
son tableau de variations.
\vspd
\item[b)] D�montrer alors qu'il existe un seul point $M_0$ de
$\mathcal{P}$ d'abscisse $\alpha$ pour lequel la distance $AM_0$
est minimale.
\vspd
\item[c)] D�montrer que la tangente � $\mathcal{P}$ en $M_0$ est
perpendiculaire � la droite $(AM_0)$.
\enit
\enit
\enex
\end{document}
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