Convexité de la fonction carré
Une fonction
définie et dérivable sur un intervalle
est convexe
lorsque sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.


Par exemple, pour la parabole de la fonction carré:
![\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,5)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-1)(0,5)
\newcommand{\ff}[1]{#1 2 div}
\multido{\i=-8+1}{16}{\psplot{-5}{3}{\ff{\i} 2 mul x \ff{\i} sub mul \ff{\i} 2 exp add}}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2.5pt]{-3}{2.5}{x 2 exp}
\end{pspicture*}\]](Convexite-parabole-fonction-carre-IMG/3.png)
Le but de l'exercice suivant est justement de démontrer cette propriété de convexité.
Exercice:
On considère la fonction carré
et on note
sa courbe représentative.


- Donner l'équation de la tangente
à
au point d'abscisse
.
- Étudier la position relative de
par rapport à
.
En déduire que la fonction carré est convexe.
Voir aussi: