Symbole somme Σ

Notation et utilisation pour les sommations

Exercices d'introduction

Le symbole Σ s'utilise en mathématiques pour noter de manière précise la somme de termes. Plus précisément, lorsqu'on veut faire la somme d'un nombre importants de termes on peut être rapidement amené à décrire l'opération en utilisation des points de suspension. Par exemple, la somme des 100 premiers entiers naturels s'écrit naturellement

S₁₀₀ = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

L'utilisation des points de suspension est à la fois naturelle et incontournable pour éviter l'écriture fastidieuse de tous les nombres, et puis il n'y a là aucun doute sur ce que cache ces points de suspension.
D'un autre côté, on peut facilement imaginer que dans d'autres exemples, l'usage de ces points de suspensions ne soit pas aussi explicite quant aux termes qui doivent compléter la somme.
Que signifie, combien vaut, la somme:

S' = 1 + 4 + 9 + … + 100

Les points de suspension ne sont pas forcément toujours assez clairs… et il est incontournable de préciser: ici je pensais aux carrés des nombres entiers, et cette information manquait.
La notation mathématique avec le symbole Σ permet de donner explicitement tous les termes de la somme par une formule générale.
Par exemple, la somme des entiers s'écrit

S₁₀₀ = ¹⁰⁰∑_i=1i

et la somme suivante, somme des 10 premiers carrés, s'écrit

S' = ¹⁰∑_i=1i²

On donne ainsi ici la formule qui explicite précisément chaque terme de la somme.

Notation générale et exemples

Notation:

Dans la somme,

S = ⁿ∑_i=1F_i

la variable indiquée, ici i, prend successivement toutes les valeurs entières depuis la valeur initiale indiquée au-dessous du symbole Σ jusqu'à la valeur finale précisée au-dessus de su symbole Σ, et signifie donc

S = ⁿ∑_i=1F_i = F₁ + F₂ + … + F_n

Exemples:

S = ⁵∑_i=1i² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5²
S = ⁴∑_i=11/1 + i = 1/1 + 1 + 1/1 + 2 + 1/1 + 3 + 1/1 + 4
S = ⁶∑_k=3cos(kωt) = cos(3ωt) + cos(4ωt) + cos(5ωt) + cos(6ωt) + cos(7ωt)

Quelques règles

Il n'y a pas à proprement parler de règles particulières de calcul, car il s'agit juste d'une notation, et les règles de calculs sur les additions restent donc tout simplement les mêmes.
Avec cette notation, ces règles s'écrivent:

Notation:

Factorisation: ⁿ∑_i=1kF_i = kⁿ∑_i=1F_i
Associativité: ⁿ∑_i=1(F_i + G_i) = ⁿ∑_i=1F_i + ⁿ∑_i=1G_i
Somme de 1: ⁿ∑_i=1k = kⁿ∑_i=11 = kn

Attention pour les autres opérations: dès que des produits, carrés, … s'en mêlent.
Deux contre exemples (et erreurs) courants:

(ⁿ∑_i=1x_i)² ≠ ⁿ∑_i=1x_i²
Ne serait-ce que pour seulement deux termes dans la somme, on connaît déjà bien: c'est une identité remarquable: (x₁ + x₂)² = x₁² + x₂² + 2x₁² x₂²
ⁿ∑_i=1x_iⁿ∑_i=1y_i ≠ ⁿ∑_i=1x_iy_i
Là aussi, ne serait aussi que pour des sommes de 2 termes, on connaît bien aussi le développement (double distributivité), (x₁ + x₂)(y₁ + y₂) = x₁y₁ + x₂y₂ + x₁y₂ + x₂y₁

Double somme / Sommes avec double indice

Une fois qu'on a compris comment s'utilise la notation pour une somme, on peut l'adapter à d'autres situations, par exemple pour calculer des sommes de sommes:

S = ⁿ∑_i=1^m∑_j=1x_ix_j

ou encore une somme dont le terme est lui-même une somme (les bornes de la somme à l'intérieur varient aussi)

S = ⁿ∑_i=1ⁱ∑_j=1x_j

Il est aussi relativement courant de considérer des grandeurs qui varient selon deux dimensions, comme les termes d'un tableau ou d'une matrice, et dépendant alors du numéro de la ligne et de la colonne. On est amené ainsi à écrire par exemple, pour les termes x_i,j d'une matrice à n et m colonnes:

la somme de toutes les valeurs de la matrice:
ⁿ∑_i=1ⁿ∑_i=1kx_i,j
la trace de la matrice, qui est la somme de toutes les valeurs situées sur la diagonale de la matrice carrée de taille n:
ⁿ∑_i=1x_i,i

Quelques sommes particulières à connaître

Somme des entiers, carrés, cube

Somme des entiers

Il s'agit de la première somme écrite en haut de cette page, à savoir la somme des entiers successifs: 1 + 2 + 3 + …

Somme des entiers:

S = ⁿ ∑ _i=1 i = n(n+1)/2

Preuve

Il existe de nombreuses preuves de cette formule assez utile et utilisée. On peut la démontrer notamment par récurrence, ou encore comme le fit Carl Friedrich Gauss (qui sera surnomé plus tard, et aujourd'hui encore, le "prince des mathématiques") du haut de ses sept ans en répondant très rapidement à son maître d'école. Ce dernier aurait donné un calcul assez long à ses élèves, probablement plus pour les occuper assez longtemps et avoir le calme que par soucis pédagogique, de calculer la somme des entiers de 1 à 100. Le petit Gauss coupa court aux idées de son maître en trouvant une méthode ingénieuse et très rapide: additionner 1 et 100, puis 2 et 99, puis 3 et 98, … et ainsi de suite jusqu'à 50 avec 51.
Chacune de ses sommes vaut 101, et il y en a en tout 50, d'où la valeur de cette somme des 100 premiers entiers:

S = ¹⁰⁰ ∑ _i=1 i = 1 + 2 + 3 + … + 100 = 50 × 101 = 5050

Plus généralement, on écrit la somme dans les deux sens: croissante et décroissante,

S = 1 + 2 + … + (n−1) + n S = n + (n−1) + … + 2 + 1

et on additionne terme à terme pour obtenir:

2S = (n+1) + (n+1) + … (n+1)

soit, comme il y a n termes dans cette somme (tous les entiers de 1 à n),

2S = n(n+1)

et d'où la formule annoncée en divisant finalement par 2.

Somme des entiers impairs

En ne prenant que les entiers impairs dans la somme précédente, le résultat est à la fois simple et remarquable (et intéressant pour s'entraîner à manipuler et calculer avec des sommes): 1 + 3 + 5 + …

Somme des entiers:

S = ⁿ ∑ _i=1 (2i−1) = n²

Preuve

On décompose la somme, on factorise, on somme une constante et on utilise ne résultat précédent:

S = ⁿ ∑ _i=1 (2i−1) = 2 ⁿ ∑ _i=1 i− ⁿ ∑ _i=1 1 = 2n(n+1)/2 − n = n(n+1)−n

d'où la formule en développant finalement ce dernier terme.

Somme des carrés des entiers

Somme des carrés:

S = ⁿ ∑ _i=1 i² = n(n+1)(2n+1)/6

Preuve

Il existe là aussi de nombreuses preuves de cette formule, par récurrence par exemple.

Somme géométrique

Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique. Plus précisément, pour tout nombre réel q≠1 on a

Somme géométrique:

S = ⁿ ∑ _k=0 q^k = 1 − qⁿ⁺¹ / 1 − q

Preuve

La somme se détaille en

S = ⁿ ∑ _k=0 q^k = 1 + q + q² + … + qⁿ

et on remarque que celle-ci est peu changée en la multipliant par la raison q:

qS = q + q² + … + qⁿ + qⁿ⁺¹

"peu changée": plus précisément, dans la soustraction presque tous les termes s'annulent et ne reste que

S − qS = 1 − qⁿ⁺¹

d'où, en factorisant à gauche,

(1 − q)S = 1 − qⁿ⁺¹

et finalement la formule attendue en divisant par 1 − q (car q≠1).

Somme téléscopique

Un cas (très) particulier de somme est celui de somme contenant des ... soustractions ...
Dans ce cas, de nombreux termes peuvent s'annuler de proche en proche, ou se télescoper.

Somme télescopique:

Même si cette expression est en général assez informelle, on peut proposer une formalisation d'une somme télescopique selon

S = ⁿ∑_k=0F(k+1) − F(k)

soit en détaillant

S = (F(1)−F(0)) + (F(2)−F(1)) + (F(3)−F(2)) + … + (F(n) − F(n−1)) + (F(n+1) − F(n)) = F(n+1) − F(0)

car chaque parenthèse contient un terme qui s'annule avec un terme de la parenthèse suivante.

Exemple 2:

S = ⁿ ∑ _k=0 1/(k+2)(k+3)

On remarque que

1/(k+2)(k+3) = 1/k+2 − 1/k+3

et la somme est donc télescopique:

S = ⁿ∑_k=0 1/k+2 − 1/k+3

soit

S = 1/2 − 1/n+3

Exemple 2:

Dans la somme

S = ⁿ ∑ _k=0 k.k! = (n+1)! − 1

on écrit la petite astuce k = k + 1 − 1 , et alors

S = ⁿ ∑ _k=0 (k+1 − 1).k! = ⁿ ∑ _k=0 (k+1)! − k!

et en détaillant alors pour y voir plus clair:

S = (1! − 0!) + (2! − 1!) + … + ((n+1)! − n!)

où presque tous les termes se télescopent, pour ne rester que

S = (n+1)! − 0!

soit la formule attendue car, par convention, 0! = 1