Suite récurrente et série


Soit $(x_n)_$ une suite de nombres réels tels que $x_0=1$ et $x_{n+1}=\ln\left( e^{x_n}-x_n\rp$ pour tout $n>0$.
  1. Montrer que $x_n>0$ pour tout $n>0$.
  2. Montrer que $(x_n)$ converge vers une limite qu'on déterminera.
  3. Montrer que la série $\dsp\sum x_n$ converge et calculer la somme $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}x_n$

Correction
D'après Ulm 2017
  1. On peut le montrer par récurrence. Initialement, $x_0=1>0$, puis, si pour un entier $n$ quelconque on a $x_n>0$, alors, comme pour tout réel $x>0$ on a $e^x>x+1$ et par stricte croissance du logarithme,
    \[x_{n+1}=\ln\left( e^{x_n}-x_n\right)
  >\ln(1)=0\]

    ce qui montre que la propriété est héréditaire.
    Ainsi, d'après le principe de récurrence, on a bien $x_n>0$ pour tout entier $n$.
  2. Pour tout entier $n$, on a
    \[\begin{array}{lcl}x_{n+1}&=&\ln\left( e^{x_n}-x_n\rp\\
  &=&\ln\left( e^{x_n}\left(1-\dfrac{x_n}{e^{x_n}}\rp\rp\\[1em]
  &=&\ln\left( e^{x_n}\rp+\ln\left(\left(1-\dfrac{x_n}{e^{x_n}}\rp\rp\\[1.2em]
  &=&x_n+\ln\lp1-\dfrac{x_n}{e^{x_n}}\right)
  \enar\]

    c'est-à-dire que
    \[x_{n+1}-x_n=\ln\lp1-\dfrac{x_n}{e^{x_n}}\rp<0\]

    car $x_n>0$ donc
    \[1-\dfrac{x_n}{e^{x_n}}<1\]

    Ainsi, cette suite est décroissante.
    Comme elle est de plus minorée par 0, on en conclut qu'elle converge vers une limite $l\geqslant0$.
    Cette limite vérifie de plus, par passage à la limite dans la relation de récurrence (ou point fixe),
    \[\begin{array}{rl}&l=\ln\left( e^l-l\rp\\
  \iff&e^l=e^l-l\\
  \iff&l=0\enar\]

    Cette suite converge donc vers 0.
  3. On a, pour tout entier $n$,
    \[\begin{array}{rl}&x_{n+1}=\ln\left( e^{x_n}-x_n\rp\\
  \iff&e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-x_n\\
  \iff&x_n=e^{x_n}-e^{x_{n+1}}\enar\]

    Ainsi, la série $\sum x_n$ est télescopique avec, plus précisément,
    \[\begin{array}{lcl}\dsp\sum_{n=0}^N x_n
  &=&\dsp\sum_{n=0}^N\left( e^{x_n}-e^{x_{n+1}}\rp\\[1em]
  &=&e^{x_0}-e^{x_{N+1}}\enar\]

    avec $x_0=1$ et
    \[\lim_{N\to+\infty}x_{N+1}=0\]

    d'où
    \[\sum_{n=0}^{+\infty}=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^N x_n=e-1\]



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