Somme trigo & binomiale (bis)

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

ComplexesNombres complexs
SommesSommes des termes d'une suite

Énoncé du sujet

Calculer $\dsp\sum_{k=0}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\rp\sin(k+1)x$

Correction

$\begin{array}{ll} \dsp\sum_{k=0}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\rp\sin(k+1)x &=\dsp\Im m\lp\sum_{k=0}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\right) e^{i(k+1)x}\right)\\[2em] &=\dsp\Im m\left( e^{ix}\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\enar\right) e^{ikx}\right)\\[2em] &=\Im m\left( e^{ix} \left(1+e^{ix}\rp^n\rp\\[1em] &=\Im m\left( e^{ix} e^{inx/2}\left( e^{-ix/2}+e^{ix/2}\rp^n\rp\\[1em] &=\Im m\left( e^{i(n+2)x/2}\left( 2\cos(x/2)\rp^n\rp\\[1em] &=2^n\sin((n+2)x/2)\cos^n(x/2) \enar$

Tags:Complexes Sommes

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