Somme avec racine n-ième de l'unité
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit
une racine n-ième de l'unité différente de 1.
On pose
![$\omega$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex12/1.png)
![$\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex12/2.png)
- En calculant
, déterminer la valeur de
.
- À l'aide de la fonction
définie par
, retrouver la valeur de
.
Correction
une racine n-ième de l'unité différente de 1.
On pose
Correction
Soit![$\omega$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex12_c/1.png)
![$\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex12_c/2.png)
- On a
, donc
.
Par ailleurs, avec un changement d'indice,,
d'où, et donc
.
- On a
et on voit donc que
.
Or, pour,
, d'où
.
Comme, on obtient alors
.
Tags:SommesComplexes
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