Série entière presque géométrique
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
.

Correction
Si
est le terme général de la série,
on a
lorsque
.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
.
Soit donc, pour
,
.
et,
.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
.
On trouve alors en intégrant
d'où
.
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:
donc
.
Avec le résultat trouvé, comme en 0,
, on a bien
en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée
.
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Si



Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que

Soit donc, pour


et,

On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,

On trouve alors en intégrant


Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:


Avec le résultat trouvé, comme en 0,


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Tag:Séries entières
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