Polynôme définissant par une relation avec sa dérivée


Soit $P\in\R[X]$ un polynôme non nul qui vérifie $nP(X)=(X-2)P'(X)$.
  1. Déterminer le degré de $P$. En déduire que $P^{(n)}(X)=an!$, avec $a\in\R^*$.
  2. Montrer, par récurrence sur $k$, que, pour tout entier $k$,
    \[P^{(k)}(X)=\dfrac1n\Bigl((X-2)P^{(k+1)}(X)+kP^{(k)}(X)\Bigr)\]

  3. Montrer que $P^{(k)}(2)=0$ pour $0\leq k\leq n-1$.
  4. En déduire $P(X)$ en fonction de $n$ et $a$.

Correction
  1. Soit $r=\deg(P)$, c'est-à-dire que $P(X)=aX^r+\dots$ avec $a\not=0$.
    On a alors
    \[\begin{array}{ll}&nP(X)=naX^r+\dots\\
  &=(X-2)\left( arX^{r-1}+\dots\rp=arX^r+\dots
  \enar\]

    ce qui montre que, nécessairement, $n=r=\deg(P)$.

    On a alors $P(X)=aX^n+\dots$, puis en dérivant $n$ fois $P^{(n)}(X)=an!$.
  2. Pour $k=0$, la relation s'écrit $P^{(0)}(X)=\dfrac1n\lp(X-2)P'(X)+0\rp$ qui la relation définissant $P$.

    Supposant maintenant que pour un entier $k$ on ait
    \[P^{(k)}(X)=\dfrac1n\Bigl((X-2)P^{(k+1)}(X)+kP^{(k)}(X)\Bigr)\]

    alors,
    \[\begin{array}{ll}P^{(k+1)}(X)&=\left( P^{(k)}\rp'(X)\\[.8em]
  &=\dfrac1n\biggl(P^{(k+1)}(X)+(X-2)P^{(k+2)}(X)+kP^{(k+1)}(X)\biggr)\\[1em]
  &=\dfrac1n\biggl((X-2)P^{(k+2)}(X)+(k+1)P^{(k+1)}(X)\biggr)
  \enar\]

    qui montre que la relation est encore vraie au rang suivant, et donc que, d'après le principe de récurrence, cette relation est vraie pour tout entier $k$.
  3. La relation précédente, pour $X=2$ donne
    \[P^{(k)}(2)=\dfrac1n\biggl(0+kP^{(k)}(2)\biggr)
  \iff (n-k)P^{(k)}(2)=0\]

    et donc que, pour tout $k\not=n$, on a $P^{(k)}(2)=0$.
  4. Le résultat précédent montre que 2 est une racine de multiplicité $n$ et donc que $P(X)=a(X-2)^n$.


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