Matrice d'une projection orthogonale dans l'espace
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit
dont la matrice dans la base canonique est
![\[A=\frac 16\left(
\begin{array}{ccc}
5&-2&1\\
-2&2&2\\
1&2&5
\end{array}\right)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1/3.png)
Montrer que
est une projection orthogonale sur un plan
dont on précisera l'équation.
Déterminer la distance de
à ce plan.
![$E=\R^3$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1/1.png)
![$p\in\mathcal L(E)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1/2.png)
![\[A=\frac 16\left(
\begin{array}{ccc}
5&-2&1\\
-2&2&2\\
1&2&5
\end{array}\right)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1/3.png)
Montrer que
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1/4.png)
Déterminer la distance de
![$(1,1,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1/5.png)
Correction
.
Ainsi,
est bien une projection.
On va déterminer
et
.
Il suffira ensuite de démontrer que ces deux sous-espaces sont orthogonaux pour pouvoir conclure.
On remarque d'abord que
si et seulement si
![\[\begin{array}{lcl}
\la\begin{array}{rcl}
5x-2y+z&=&0\\
-2x+2y+2z&=&0\\
x+2y+5z&=&0\\
\enar\right. &\iff&
\la\begin{array}{rcl}
x+2y+5z&=&0\\
6y+12z&=&0\\
-12y-24z&=&0\\
\enar\right.\\
&\iff&
\la\begin{array}{rcl}
x&=&-z\\
y&=&-2z\\
z&=&z
\enar\right.\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/6.png)
Ainsi,
, où
.
On en déduit (on sait déjà que
est une projection) que
est de dimension 2.
Puis, puisque
et
sont indépendants, en posant
et
,
on en déduit que
.
Pour démontrer que
est une projection orthogonale, il reste à prouver que
.
Mais
et
, donc on a bien
.
Puisque
est un vecteur normal au plan
, une équation de ce plan est
![\[-x-2y+z=0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/23.png)
Enfin, la distance de
au plan
par:
![\[d=\frac{|\langle u,(1,1,1)\rangle|}{\|u\|}=\frac{|-1-2+1|}{\sqrt 6}=\frac {2}{\sqrt 6}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/26.png)
Correction
On commence par remarquer que![$A^2=A$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/1.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/2.png)
![$\ker(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/3.png)
![$\text{Im}(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/4.png)
![$(x,y,z)\in \ker(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/5.png)
![\[\begin{array}{lcl}
\la\begin{array}{rcl}
5x-2y+z&=&0\\
-2x+2y+2z&=&0\\
x+2y+5z&=&0\\
\enar\right. &\iff&
\la\begin{array}{rcl}
x+2y+5z&=&0\\
6y+12z&=&0\\
-12y-24z&=&0\\
\enar\right.\\
&\iff&
\la\begin{array}{rcl}
x&=&-z\\
y&=&-2z\\
z&=&z
\enar\right.\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/6.png)
Ainsi,
![$\ker(p)=\text{Vect}(u)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/7.png)
![$u=(-1,-2,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/8.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/9.png)
![$\text{Im}(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/10.png)
![$p(e_1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/11.png)
![$p(e_2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/12.png)
![$v=(5,-2,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/13.png)
![$w=(-2,2,2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/14.png)
![$\text{Im}(p)=\text{Vect}(v,w)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/15.png)
Pour démontrer que
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/16.png)
![$\ker(p)\perp\textrm{Im}(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/17.png)
![$u\perp v$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/18.png)
![$u\perp w$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/19.png)
![$\text{vect}(u)\perp \text{vect}(v,w)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/20.png)
Puisque
![$u$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/21.png)
![$\textrm{Im}(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/22.png)
![\[-x-2y+z=0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/23.png)
Enfin, la distance de
![$(1,1,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/24.png)
![$\textrm{Im}(p)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/25.png)
![\[d=\frac{|\langle u,(1,1,1)\rangle|}{\|u\|}=\frac{|-1-2+1|}{\sqrt 6}=\frac {2}{\sqrt 6}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex1_c/26.png)
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