Inverse d'une matrice 2x2 par le pivot de Gauss-Jordan


En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, calculer l'inverse de la matrice $A=\lb\begin{array}{rr}2&3\\1&4\enar\rb$.

Correction
On écrit la matrice augmentée avec l'identité
\[\lb\begin{array}{rr|rr}2&3 &1&0\\1&4 &0&1\enar\rb\]

On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par $L_1\leftarrow\dfrac12 L_1$,
\[\lb\begin{array}{rr|rr}1&\dfrac32 &\dfrac12&0\\1&4 &0&1\enar\rb\]

puis $L_2\leftarrow L_2-L_1$
\[\lb\begin{array}{rr|rr}1&\dfrac32 &\dfrac12&0\\[.8em]0&\dfrac52 &-\dfrac12&1\enar\rb\]

puis on ramène à 1 le pivot de la 2ème ligne par $L_2\leftarrow \dfrac25 L_2$
\[\lb\begin{array}{rr|rr}1&\dfrac32 &\dfrac12&0\\[.8em]0&1 &-\dfrac15&\dfrac25\enar\rb\]

puis enfin on calcule $L_1\leftarrow L_1-\dfrac32L_2$
\[\lb\begin{array}{rr|rr}1&0 &\dfrac45&\dfrac35\\[.8em]0&1 &-\dfrac15&\dfrac25\enar\rb\]

d'où on trouve
\[A^{-1}=\lb\begin{array}{rr}\dfrac45&\dfrac35\\[.8em]-\dfrac15&\dfrac25\enar\right]
=\dfrac15\lb\begin{array}{rr}4&3\\[.8em]-1&2\enar\rb\]



Cacher la correction


Tag:Matrices

Autres sujets au hasard: Lancer de dés
LongPage: h2: 0 - h3: 0