Estimation pour la loi géométrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- VA: inégalités & estimationVariables aléatroire: inégalités & estimation
Énoncé du sujet
Soit
un entier naturel et
une variable aléatoire suivant la loi géométrique
.
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-loi-geom/1.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-loi-geom/2.png)
![$\mathcal G(1/n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-loi-geom/3.png)
- Donner l'espérance et la variance de
.
- Montrer que
.
- Montrer que
. En déduire que
.
Correction
Correction
- Une variable aléatoire
qui suit une loi géométrique de paramètre
a pour espérance
et variance
, avec
.
-
étant à valeurs positives de moyenne
, l'inégalité de Markov donne, pour tout
,
On obtient le résultat voulu avec.
- On a
. On obtient en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec
,
Pour, on obtient le résultat voulu.
De plus,étant à valeurs dans
, les événements
et
sont égaux, ce qui donne la deuxième inégalité.
Tag:VA: inégalités & estimation
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