Endomorphisme qui conserve l'orthogonalité


Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, muni du produit scalaire $\langle \cdot , \cdot \rangle$ et de la norme associée $\| \cdot \|$.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$ qui vérifie
\[\forall (x,y)\in E^2\, , \, \langle x , y \rangle=0
\implies \langle f(x) , f(y) \rangle=0\]


  1. Montrer que si $x$ et $y$ sont des vecteurs de même norme, alors $x-y$ et $x+y$ sont orthogonaux.
  2. Montrer qu'il existe un réel positif $k$ tel que, pour tout vecteur unitaire $x\in E$, on a $\|f(x)\|=k$.
  3. Montrer que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=k\|x\|$.

Correction
  1. On a, en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire
    \[\begin{array}{ll}\langle x-y , x+y\rangle 
  &= \|x\|^2+\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle - \|y\|^2\\
  &=\|x\|^2-\|y\|^2\\
  &=0\enar\]

    pour des vecteurs $x$ et $y$ de même norme.
  2. Soit un vecteur unitaire $x\in E$, c'est-à-dire que $\|x\|=1$, et posons $k=\|f(x)\|$.
    Soit alors $y\in E$ un autre vecteur unitaire, et montrons que $\|f(y)\|=\|f(x)\|=k$.

    Comme $x$ et $y$ sont tous les deux unitaires, ils ont en particulier la même norme, et donc, d'après la question précédente,
    \[\langle x-y , x+y\rangle=0\]

    et donc, par hypothèse sur $f$,
    \[\langle f(x-y) , f(x+y)\rangle=0\]

    En utilisant alors la linéarité de $f$ et la bilinéarité du produit scalaire, on obtient
    \[\begin{array}{ll}
  0&=\langle f(x-y) , f(x+y)\rangle\\
  &=\|f(x)\|^2+\langle f(x) , f(y)\rangle
  -\langle f(y) , f(x)\rangle
  -\|f(y)\|^2
  \enar\]

    et donc, par symétrie du produit scalaire,
    \[\|f(x)\|=\|f(y)\|=k\]

  3. Pour tout vecteur unitaire $x$ on a donc $\|f(x)\|=k$.
    Soit $y\in E$. Si $y=0$, on a directement $f(y)=0$ donc $\|f(y)\|=k\|y\|=0$.
    Pour $y\not=0$, on se ramène au cas précédent d'un vecteur unitaire en posant $z=\dfrac1{\|y\|}y$ qui est unitaire et donc, d'après la question précédente,
    \[\|f(z)\|=\left\|f\lp\dfrac1{\|y\|}y\rp\right\|
  =\dfrac1{\|y\|}f(y)=k\]

    et ainsi,
    \[\|f(y)\|=k\|y\|\]



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