Décomposition en produits de polynômes irréductibles (bis)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Décomposer en produit de polynômes irréductibles de ![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP2/1.png)
,
.
,
.
Correction
![\[\begin{array}{ll}
X^8-1
&=\left( X^4-1\rp\left( X^4+1\rp\\[.5em]
&=\left( X^2-1\rp\left( X^2+1\rp\left( X^4+1\rp\\[.5em]
&=\left( X-1\rp\left( X+1\rp\left( X^2+1\rp\left( X^4+1\rp
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP2_c/1.png)
est irréductible dans ![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP2_c/3.png)
et 
admet 
et 
comme
racines dans 
, d'où la factorisation, dans 
,
![\[X^4+1=\left( X-e^{i\frac{3\pi}{4}}\right)
\left( X-e^{-i\frac{3\pi}{4}}\right)
\left( X-e^{i\frac\pi4}\rp\left( X-e^{-i\frac\pi4}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP2_c/9.png)
d'où la factorisation dans
,
![\[X^4+1=\left( X^2-\sqrt2X+1\rp\left( X^2+\sqrt2X+1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP2_c/11.png)
Correction
est irréductible dans
et admet et comme
racines dans , d'où la factorisation, dans ,
d'où la factorisation dans
,
Tag:Polynôme
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