Continuité et dérivabilité d'une composée
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Soit
la fonction de
dans
définie par
si
et
.






- Montrer que pour tout
,
.
- Soit
la fonction de
dans
définie par
si
et
si
.
Montrer queest de classe
sur
.
- Soit
et
deux réels tels que
, et soit
la fonction de
dans
définie par:
Montrer queest de classe
sur
. Représenter graphiquement
pour
et
.
Correction
Correction
- Soit
alors
, et
, et alors
.
Par croissance comparée, on a bien, et donc, en prolongeant par continuité,
.
Pour démontrer le résultat général, on peut démontrer par récurrence que, pour tout entier, il existe un polynôme
tel que
.
Initialement, au rang,
, et (inutile en fait ici, mais le calcul est déjà fait…) d'après le calcul précédent, au rang
,
.
Supposons maintenant que pour un entieron ait
, alors, au rang suivant
,
avec le polynôme.
On vient ainsi de démontrer par récurrence que, pour tout entier, il existe un polynôme
tel que
.
On conclut alors, avec le théorème de croissances comparées:, et donc, en prolongeant par continuité,
.
-
est de classe
sur
et sur
comme composée de fonctions
.
On a, pour tout entier,
pour tout
, et
.
, et toutes ses dérivées succesives, est donc dérivable à gauche et à droite en
, et de dérivée continue.
Ainsi,est de classe
pour tout entier
, c'est-à-dire
est de classe
.
- Soit
, alors sur
, on a
et sur
, on a
qui sont
est bien
Commeest identiquement nulle sur
, le raccord entre les deux fonctions précédentes est aussi
, et donc,
est bien
sur
.
Tag:Dérivée
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