Cauchy-Schwarz et une application (bis)


Montrer que pour tous réels, $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$ on a $|a_1+a_2+a_3+a_4|\leqslant2\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}$

Correction
L'inégalité de inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $\langle x , y \rangle|\leqslant\|x\|.\|y\|$.
Dans $E=\R^4$ avec le produit scalaire canonique, et $x=\left( x_1, x_2, x_3, x_4\rp$ et $y=\left( y_1, y_2, y_4, y_4\rp$, cette inégalité s'écrit donc
\[\left|\sum_{i=1}^4x_iy_i\right|\leqslant 
  \sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2}
  \sqrt{\sum_{i=1}^4y_i^2}\]

Maintenant, avec le vecteur $y=(1,1,1,1)$, on obtient
\[\left|\sum_{i=1}^4x_i\right|\leqslant 
  \sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2}
  \sqrt{\sum_{i=1}^41}
  \]

ce qui, avec $\sqrt{\sum_{i=1}^41}=\sqrt{4}=2$, est l'inégalité recherchée.

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