Cauchy-Schwarz et une application (bis)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
Énoncé du sujet
Montrer que pour tous réels,
,
,
et
on a
![$a_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2/1.png)
![$a_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2/2.png)
![$a_3$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2/3.png)
![$a_4$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2/4.png)
![$|a_1+a_2+a_3+a_4|\leqslant2\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2/5.png)
Correction
.
Dans
avec le produit scalaire canonique,
et
et
,
cette inégalité s'écrit donc
![\[\left|\sum_{i=1}^4x_iy_i\right|\leqslant
\sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2}
\sqrt{\sum_{i=1}^4y_i^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/5.png)
Maintenant, avec le vecteur
, on obtient
![\[\left|\sum_{i=1}^4x_i\right|\leqslant
\sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2}
\sqrt{\sum_{i=1}^41}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/7.png)
ce qui, avec
, est l'inégalité recherchée.
Correction
L'inégalité de inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit![$\langle x , y \rangle|\leqslant\|x\|.\|y\|$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/1.png)
Dans
![$E=\R^4$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/2.png)
![$x=\left( x_1, x_2, x_3, x_4\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/3.png)
![$y=\left( y_1, y_2, y_4, y_4\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/4.png)
![\[\left|\sum_{i=1}^4x_iy_i\right|\leqslant
\sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2}
\sqrt{\sum_{i=1}^4y_i^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/5.png)
Maintenant, avec le vecteur
![$y=(1,1,1,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/6.png)
![\[\left|\sum_{i=1}^4x_i\right|\leqslant
\sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2}
\sqrt{\sum_{i=1}^41}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/7.png)
ce qui, avec
![$\sqrt{\sum_{i=1}^41}=\sqrt{4}=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/CS2_c/8.png)
Tag:Espaces euclidiens
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