Application de Cauchy-Schwarz


  1. Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz, en précisant le cas d'égalité.
  2. Soit un entier non nul $n$ et des réels strictement positifs $x_1$, $x_2$, … , $x_n$ tels que $\dsp\sum_{i=1}^nx_i=1$.
    Montrer que $\dsp\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}\geqslant n^2$. Préciser le cas d'égalité.

Correction
  1. Dans un espace euclidien $E$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $\langle x , y \rangle|\leqslant\|x\|.\|y\|$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.
    Dans $E=\R^n$ avec le produit scalaire canonique, cette inégalité s'écrit, pour $x=\left( x_1, x_2, \dots, x_n\rp\in\R^n$ et $y=\left( y_1, y_2, \dots, y_n\rp\in\R^n$,
    \[\left|\sum_{i=1}^nx_iy_i\right|\leqslant 
  \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}
  \sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}\]


  2. On cherche, naturellement après la question précédente, à utiliser des vecteurs $x$ et $y$ judicieux. Pour pouvoir faire apparître les sommes $\dsp\sum_{i=1}^nx_i=1$ et $\dsp\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}=1$, on a tout intérêt à choisir
    \[x=\lp\sqrt{x_1},\sqrt{x_2},\dots,\sqrt{x_n}\rp\]

    et
    \[y=\lp\dfrac1{\sqrt{x_1}}, \dfrac1{\sqrt{x_2}}, \dots , \dfrac1{\sqrt{x_n}}\rp\]

    On obtient alors, en écrivant l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
    \[\left|\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i}\dfrac1{\sqrt{x_i}}\right|\leqslant 
  \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i}  \sqrt{\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}}\]



    \[n=\left|\sum_{i=1}^n1\right|\leqslant 
  1\tm\sqrt{\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}}\]

    d'où, en élevant au carré
    \[\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}\geqslant n^2\]

    Il y a égalité si et seulement les vecteurs sont colinéaires, soit, s'il existe $k\in\R$ tel que
    \[\begin{array}{ll}x=ky 
  &\iff \forall1\leqslant i\leqslant n, \sqrt{x_i}=\dfrac{k}{\sqrt{x_i}}\\
  &\iff \forall1\leqslant i\leqslant n, x_i=k\enar\]

    Ainsi toutes les coordonnées sont égales à la même constante $k$. De plus,
    \[1=\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nk=nk \implies k=\dfrac1n\]

    d'où l'égalité si et seulement
    \[x_1=x_2=\dots=\dfrac1n\]



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