Reconstruction d'un sinal numérisé

Conversion analogique / numétique

Position du problème
Différentiation de deux signaux sinusoïdaux échantillonnés
Critère de Shannon

Un problème fondamental qui se pose après numérisation d'un signal est : est-il possible de retrouver, à partir des seuls échantillons numériques disponibles, le signal original (analogique) complet ?


Un signal (par exemple sonore, un bruit quelconque, un morceau de musique, ...) échantillonné et numérisé (figure de gauche). Seules les valeurs aux instants échantillonnés sont stockées (figure de droite).


Chacun des trois signaux ci-dessus a les mêmes échantillons que le signal original sans pour autant "concorder" avec celui-ci. Le son restitué par chacune de ces trois reconstructions différera de toute évidence du son original enregistré numériquement.

D'après l'analyse de Fourier, tout signal peut-être décomposé en une somme (infinie) de signaux élémentaires purement sinusoïdaux.
La question peut alors se reformuler ainsi: à quelle(s) condition(s) quelques échantillons permettent-ils de différencier deux signaux sinusoïdaux ?
Par exemple, si on ne considère que deux échantillons distants de 0,2s, alors un signal sinusoïdal de fréquence 5 Hz (période T=0,2s) pourra passer par ces échantillons, ainsi qu'un de signal de 10 Hz (période T=0,1s), ou de 20 Hz (T=0,05 s) ...
Il existe en fait une infinité sinusoïdes ayant les mêmes échantillons.

On considère un signal sinusoïdal ${x(t)}_{\,}$ , de fréquence

$\displaystyle x(t)=\cos\Big(2\pi f t\Big)$

En échantillonnant toutes les secondes, c'est-à-dire à la fréquence $\displaystyle f_e=\frac{1}{T_e}$ , on obtient la suite d'échantillons:

$\displaystyle x_n=\cos\Big(2\pi f\,nT_e\Big) =\cos\Big(2\pi f \frac{n}{f_e}\Big)$

Maintenant, soit un autre signal sinusoïdal, de fréquence :

$\displaystyle y(t)=\,\cos\Big( 2\pi f' t\Big)$

qui donne, après le même échantillonnage que pour , la suite de valeurs:

$\displaystyle y_n=\cos\Big( 2\pi f'\, nT_e\Big) = \cos\Big(2\pi f'\,\frac{n}{f_e}\Big)$

On ne pourra différencier le signal du signal dans ces seuls échantillons prélevés, si

$\displaystyle x_n=y_n, \$ pour tout entier $\displaystyle n$

soit, si

$\displaystyle \cos\Big(2\pi f \frac{n}{f_e}\Big) = \cos\Big(2\pi f'\,\frac{n}{f_e}\Big)$

L'égalité des deux cosinus a lieu si les arguments sont égaux modulo $2\pi$ :

$\displaystyle 2\pi f \frac{n}{f_e} = 2\pi f'\,\frac{n}{f_e} + k\times 2\pi, \$ pour $\displaystyle k\in{\sf Z\kern-4.5pt Z}$

soit aussi,

$\displaystyle f-f'=\frac{k}{n}f_e$

En particulier, dès le premier échantillon ( ), on doit éviter d'avoir :

$\displaystyle f-f'=k f_e$

ce qui est assuré si

$\displaystyle \vert f -f'\vert< f_e$

ou encore, en utilisant l'inégalité triangulaire ( $\vert a\vert+\vert b\vert<\vert a+b\vert$ ), si

$\displaystyle \vert f\vert+\vert f'\vert<\vert f-f'\vert<f_e$

Finalement, on peut distinguer les deux signaux si on impose la condition sur les fréquences:

$\displaystyle 2\,$ Max $\displaystyle \Big(\vert f\vert,\vert f'\vert\Big) < f_e$

En résumé, on distingue clairement deux signaux sinusoïdaux échantillonnés si la fréquence d'échantillonnage utilisée est au moins deux fois supérieure à la plus grande des fréquences des signaux.

La transformée de Fourier, qui permet de considérer que tout signal est une superposition (infinie) de signaux sinusoïdaux, nous permet alors d'énoncer le critère de Shannon sur l'échantillonnage de signaux:

Théorème de Shannon:

$\fbox{ \begin{minipage}{\textwidth} Etant donné une suite de valeurs $x_n$\ éc... ...\ dont le spectre est compris dans l'intervalle $[-f_e;f_e]$. \end{minipage}}$

En d'autres termes: pour qu'un signal ne soit pas perturbé par l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal.

Par exemple, pour des signaux sonores, la plus haute fréquence que l'oreille humaine est capable de percevoir est d'environ 20 kHz (20 000 vibrations par seconde).
Pour être sûr de pouvoir reconstituer un son numérisé, il faut donc, d'après le théorème de Shannon, s'assurer que la fréquence d'échantillonnage est bien supérieure au double de cette fréquence, soit environ 40 kHz.
Cette valeur est la fréquence d'échantillonnage des CD musicaux courants (44 kHz en général pour être précis).

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