Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: plan complexe},
pdftitle={Plan complexe},
pdfkeywords={Mathématiques, maths expertes, terminale générale,
complexes, nombres complexes, géométrie complexe, plan complexe}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$\bigskip
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Plan complexe}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths - Maths expertes}}
\rfoot{\TITLE\ - Maths expertes - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{2cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp
\bigskip
\ct{\Large\bf Géométrie complexe et applications}
\vspace*{2cm}
\hspace*{5cm}\bgmp{10cm}\og en géométrie, le plus court chemin entre les éléments réels passe souvent par un détour dans l'imaginaire \fg,\enmp\\
\hfill\textit{Jean Gaston Darboux (1842 - 1917)}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize
\clearpage
\section{\'Echauffements}
\vspace{-1em}
\bgex
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal,
\bgen[a)]
\item Placer les points $A(2;4)$ et $B(-3,5)$.
\item Calculer les coordonnées de $\V{AB}$ et la longueur $AB$.
\item Calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$.
\item On note $A'$ et $A''$ les symétriques de $A$ respectivement par rapport à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées.
Donner les coordonnées de $A'$ et $A''$.
\item Déterminer les coordonnées des points $M$ tels que $AM=BM$.
Tracer ces points.
\enen
\enex
\bgex
Tracer le cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points associés aux angles
\[\pi, \quad \dfrac\pi2, \quad \dfrac\pi6, \quad \dfrac\pi3, \quad \dfrac{3\pi}2, \quad \dfrac{2\pi}3,\quad \dfrac{5\pi}6\]
Donner pour chaque angle les valeurs exactes de leur cosinus et sinus.
\enex
\bgex Simplifier:
$A=e^2e^5$, \quad
$B=e^{2x}e{2+3x}$, \quad
$C=\dfrac{\lp e^{3x}\rp^2e^{-2x}}{e^x}$, \quad
$D=e^x\dfrac{\lp e^{2x}\rp^3}{\dfrac{e^{8x+1}}{e^x}}$
\enex
\section{Plan complexe}
\vspace{-.8cm}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgdef{ \textbf{Plan complexe}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$
direct.
\`A tout nombre complexe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$,
on associe le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$.
On dit que $z$ est l'\textbf{affixe} du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$;
et que le point $M$, ou le vecteur $\V{OM}$ est l'image de $z$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.,-1)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
\put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
\put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
\rput{38}(1,1.1){$\V{OM}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgdef{
Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des
abscisses, que l'on appelle donc {\bf axe réel}.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, $z=0+iy=iy$ est
appelé un nombre {\bf imaginaire pur}.
Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées,
que l'on appelle donc {\bf axe imaginaire (pur)}.
\medskip
Dans le plan complexe, si le point $M$ a pour affixe $z$,
alors l'image $M'$ de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par
rapport à l'axe des abscisses.
}
\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectif:
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $\dsp z_C=\sqrt{2}+\frac{3}{2}i$.
Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit~réel.
\enex
\bgprop{
\bgen[$\bullet$]
\item Soit deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, alors
l'affixe du vecteur $\V{AB}$ est $z_{\V{AB}}=z_B-z_A$.
\item Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'affixe $z$ et $z'$,
alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe
$z+z'$.
\item Pour $k\in\R$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz$.
\item Le milieu $I$ de $[MN]$ a pour affixe
$z_I=\dfrac{z_M+z_N}2$
\enen
}
\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$.
\bgen[a)]
\item Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$.
\item En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enen
\enex
\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\enex
\bgex
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixes respectives \\
\ct{$z_A=3+i$ , \quad $z_B=2-2i$ , \quad $z_C=2i$ \ et \ $z_D=1+5i$.}
Faire une figure, puis montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un
parallélogramme.
\enex
\section{Module et argument d'un nombre complexe}
\noindent
\bgmp{11cm}
\bgdef{Soit dans le plan complexe un point $M$ d'affixe $z=x+iy$,
$x\in\R$, $y\in\R$.
\vspd
Alors, $OM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$.
Ce nombre, {\bf réel et positif},
s'appelle {\bf le module} du nombre complexe $z$, et est noté
$|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
On appelle {\bf argument} du nombre complexe non nul $z$, noté
$\mbox{arg}(z)$, toute mesure
en radians de l'angle orienté:
$\lp\vec{u},\V{OM}\rp$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,3.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,2.5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
\put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
\put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
%\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
\rput{36}(1,1){$|z|$\scriptsize{$=\sqrt{x^2+y^2}$}}
\psarc{->}(0.4,0.3){0.8}{-20}{34}
\put(1.4,0.4){\scriptsize$\mbox{arg(z)}$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité
d'arguments:
si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la
forme $\theta+k2\pi$, $k\in\Z$.
\medskip
On note $\mbox{arg}(z)=\theta\ [2\pi]$, qui signifie exactement que
$\arg(z)=\theta +k2\pi$, avec $k\in\Z$.
\bgex
Placer les points dont les affixes sont les complexes suivants, puis en calculer le module et déterminer un argument:
$z_1=2+2i$ , \
$z_2=5$ , \
$z_3=3i$ , \
$z_4=-6$ , \
$z_5=-1+i$ , \
$z_6=\sqrt3+i$.
\enex
\noindent
\bgmp{10cm}
\bgprop{
Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $\V{AB}(z_B-z_A)$ et donc,
\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item $AB=\|\V{AB}\|=|z_B-z_a|$
\vspd
\item $\lp\vec{u},\V{AB}\rp=\mbox{arg}(z_{\V{AB}})=\mbox{arg}(z_B-z_A)$.
\enen
}
\enmp
\bgmp{7cm}\vspace{1.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=.9cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.,-0.2)(6,4.6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
\put(-0.4,-0.4){\footnotesize$O$}
\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2)
\rput(5.5,1.8){$M(z_B\!-\!z_A)$}
\psarc{->}(0,0){2}{0}{26}\rput(2.5,0.6){$\theta$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2)
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2)(4,2)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.5,2.5)(5.5,4.5)
\rput(1.5,2.5){$\bullet$}\rput(1,3){$A(z_A)$}
\rput(6,4.8){$B(z_B)$}
\rput(3,4.5){\scriptsize$\V{AB}(z_{\V{AB}}\!=\!z_B\!-\!z_A)$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(1.5,2.5)(2.5,2.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.5,2.5)(4.5,2.5)
\put(1.8,2){$\vec{u}$}
\psarc{->}(1.5,2.5){2}{0}{26}
\rput(5.5,3.3){\footnotesize$\theta=\mbox{arg}(|z_{\V{AB}}|$}
\rput(6.,2.7){\footnotesize$=\mbox{arg}(z_B\!-\!z_A)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgcorol{Soit $A\lp z_A\rp$, $B\lp z_B\rp$, $C\lp z_C\rp$ et $D\lp
z_D\rp$ alors
\[\lp\V{AB};\V{CD}\rp=\arg\lp z_{\V{CD}}\rp-\arg\lp z_{\V{AB}}\rp = \arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp\]
}
\bgproof{En utilisant la relation de Chasles pour les angles orientés
\[\bgar[t]{ll}
\lp\V{AB};\V{CD}\rp
&=\lp\V{AB};\vec{u}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[.3cm]
&=-\lp\vec{u};\V{AB}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[0.3cm]
&=-\arg\lp z_{\V{AB}}\rp+\arg\lp z_{\V{CD}}\rp\\[.3cm]
&=-\arg\lp z_B-z_A\rp+\arg\lp z_D-z_C\rp
=\arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp
\enar\]
\medskip
On démontrera la dernière égalité, l'argument du quotient, un peu plus tard.
}
\bgex
Dans le plan complexe,
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes:
\[z_A=1+i\ ,\ z_B=4+5i\ ,\ z_C=5-2i\ .\]
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$, puis que
$\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$.
\item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère
$ABKC$ soit un rectangle.
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère
$AGBC$ soit un parallélogramme.
\item Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$.
\enen
\enen
\enex
\bgprop{Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
\bgen[$\bullet$]
\item si $z=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$,
$z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$
\vsp
\item $|-z|=|z|$
\qquad $\bullet$ $|\overline{z}|=|z|$
\vspd
\item $|zz'|=|z|\, |z'|$
\qquad $\bullet$ $|z^n|=|z|^n$
\qquad $\bullet$ $\dsp\frac{|z|}{|z'|}
=\psline(0,-0.3)(0,0.5)\frac{z}{z'}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)$
\vspd
\item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\enen
}
\smallskip
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:\\
$\bullet\ |z-6i|=3$
\quad
$\bullet\ |z+3-2i|<2$
\quad
$\bullet\ |z+2|=|z-3i+1|$
\quad
$\bullet\ |2-iz|=|z+5|$
\quad
$\bullet\ \dsp \left|\frac{z+2i}{z+1-2i}\right|>1$
\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp
\psline(0,-0.3)(0,0.5)\,\overline{z}+\frac{i}{2}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)=4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\enex
\bgex
Soit $A$, $B$ et $C$ les trois points d'affixes $z_A=2i$, $z_B=2+i$ et $z_C=1-i$.
Montrer, de deux manières différentes, que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$.
\enex
\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}
\vspace{-1.2em}
\noindent
\bgmp{10cm}
\bgdef{
Dans le plan complexe un point $M$ peut-être repéré par ses
coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$,
ou par ses coordonnées polaires $(r;\theta)$,
avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$.
\vspd
On a les relations:
\[
\la\bgar{ll}
r=\sqrt{x^2+y^2} \\
\dsp\cos\theta=\frac{x}{r}\ ,\ \sin\theta=\frac{y}{r}
\enar\right.
\Longleftrightarrow
\la\bgar{ll}
x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta
\enar\right.
\]
\vsp
L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors,
\[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)
\]
\bgmp{18cm}
Cette écriture est la {\bf forme trigonométrique} de $z$.
\enmp
}
\enmp\quad
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(3,2.8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.5)(0,3.5)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}%\put(1,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,1){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.5)(4,2.5)
\put(2.8,2.7){$M(z=x+iy)$}
\rput(3.8,-0.2){\scriptsize$x\!=\!r\cos\theta$}
\rput(-0.6,2.5){\scriptsize$y\!=\!r\sin\theta$}
%\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
\rput{35}(2.2,1.65){$r\!=\!|z|$\scriptsize{$\!=\!\sqrt{x^2+y^2}$}}
\pscircle(0,0){2}
\psarc{->}(0.4,0.3){0.5}{-25}{30}
\rput(1.55,0.35){\scriptsize$\theta\!\!=\!\!\mbox{arg(z)}$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.08)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.08)(1.7,1.08)
\rput(-0.4,1.1){\scriptsize$\sin\theta$}
\rput(1.6,-0.2){\scriptsize$\cos\theta$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:
\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&$\bullet\ z_2=-4$
&$\bullet\ z_3=2i$
&$\bullet\ z_4=-1+i$
&$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_6=-17$
&$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&$\bullet\ z_8=5i$
&$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$.
\end{tabular}
\enex
\section{Exponentielle complexe}
On considère la fonction complexe $f$ définie sur $\R$ par
$f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$.
Comme les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\R$, $f$
l'est aussi, et,
\[f'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos\theta
=i(i\sin\theta+\cos\theta)
=if(\theta)\]
Comme de plus, $f(0)=\cos0+i\sin0=1$,
on en déduit que $f$ est définie de manière unique par l'expression
$f(\theta)=e^{i\theta}$.
\bgprop{Pour tout $\theta\in\R$, \fbox{$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.}
\bigskip
Ainsi, tout complexe $z$ s'écrit sous la forme exponentielle
complexe:
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}
\]
où, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$.
}
\bgmp{9.6cm}
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}\\
$\dsp\bullet\ e^{i0}=e^{i2\pi}=1$ \quad
$\dsp\bullet\ e^{i\pi}=-1$\quad
$\dsp\bullet\ e^{i\frac{\pi}{2}}=i$\quad
$\dsp\bullet\ e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$\vsp\\
$\bgar{ll}
\dsp\bullet\ e^{i\frac{2\pi}{3}}
&\dsp=\cos\lp\frac{2\pi}{3}\rp+i\sin\lp\frac{2\pi}{3}\rp \\
&\dsp=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\enar$\vspd\\
$\bgar{ll}
\dsp\bullet\ \frac{3}{2}+\frac{3}{2}i
&\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big(\cos\lp\frac{\pi}{4}\rp+i\sin\lp\frac{\pi}{4}\rp\Big)\\
&\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\enar$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(2,2)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-1.5,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-1.3)(0,1.9)
\pscircle(0,0){1}
\rput(-0.15,-0.15){$O$}
\rput(1,0){$\bullet$}
\rput(0.95,-0.15){$\dsp 1\!=\!e^{i0}$}
\rput(1.07,-0.3){$\dsp=\!e^{i2\pi}$}
\rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.4,1.15){$\dsp i\!=\!e^{i\frac{\pi}{2}}$}
\rput(0,-1){$\bullet$}\rput(0.4,-1.15){$\dsp -i\!\!=\!e^{i\frac{3\pi}{2}}$}
\rput(-1,0){$\bullet$}\rput(-1.4,0.1){$\dsp -1\!=\!e^{i\pi}$}
\rput(-0.5,0.866){$\bullet$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,0.866)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0.866)(-0.5,0.866)
\rput(-0.75,0.95){$\dsp e^{i\frac{2\pi}{3}}$}
\rput(-0.55,-0.15){$-\frac{1}{2}$}
\rput(0.15,0.8){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\rput(1.5,1.5){$\bullet$}\rput(1.65,1.65){$\dsp e^{i\frac{\pi}{4}}$}
\psline[linewidth=0.5pt](0,0)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.5)(1.5,1.5)
\rput(1.5,-0.15){$\frac{3}{2}$}
\rput(-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
\psarc{->}(0,0){1.4}{0}{45}\rput(1.3,0.8){$\frac{\pi}{4}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et
algébrique les nombres complexes:
\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{2}e^{3i\frac{\pi}{4}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 5e^{i\frac{5\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\,e^{-i\frac{3\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{3e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$
\enex
\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres complexes:
\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 5$
\hspace{0.6cm}
$\dsp\bullet\ 4+4i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac32 i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{2}{1-i}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{3}-i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^2$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^3$
\enex
\bgprop{ Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, et tout entier naturel
$n$,
\vsp
\bgit
\item[$\bullet$] $\dsp|e^{i\theta}|=1$, et
$\dsp\mbox{arg}(e^{i\theta})=\theta$
\vsp
\item[$\bullet$]
$\dsp e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$\ ;\ \
$\dsp\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$\ ;\ \
$\dsp\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
\vsp
\item[$\bullet$] $\lp e^{i\theta}\rp^n=e^{in\theta}$
(Formule de Moivre)\\[.3em]
c'est-à-dire,
$\lp\cos\theta+i\sin\theta\rp^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$
\medskip
\item[$\bullet$] $e^{i\tht}=e^{i\tht'} \iff \tht=\tht'\ [2\pi]$
\enit
}
\bgcorol{
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$,
\vsp
\bgit
\item[$\bullet$] $\mbox{arg}(zz')=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$
\vspd
\item[$\bullet$] $\mbox{arg}(z^n)=n\mbox{arg}(z)$
\vspd
\item[$\bullet$]
$\dsp\mbox{arg}\lp\frac{z}{z'}\rp=\mbox{arg}(z)-\mbox{arg}(z')$
\enit
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $z=re^{i\theta}$, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$,
et $z'=r'e^{i\theta'}$, $r'=|z'|$ et $\theta'=\mbox{arg}(z')$,
alors,
$zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$, et donc,
$|zz'|=rr'=|z||z'|$, et
$\mbox{arg}(zz')=\theta+\theta'=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$.
\vspd
De même pour la puissance:
$z^n=\lp re^{i\theta}\rp^n=r^n\lp e^{i\theta}\rp^n
=r^ne^{in\theta}$, et donc,
$|z^n|=r^n=|z|^n$ et $\mbox{arg}(z^n)=n\theta=n\mbox{arg}(z)$
\bgex
On donne $\dsp z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}$,
$\dsp z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et
$\dsp z_3=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.
\vsp
Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes:
$z_1 z_2 z_3$, $\dsp\frac{z_1}{z_2 z_3}$,
$z_2^2$, $z_3^6$.
\enex
\bgex
Simplifier l'expression, où $\theta\in\R$,
$\dsp \lp\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^2
+\lp\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\rp^2$.
Etait-ce prévisible sans calcul ?
\enex
\bgprop{\textbf{Formules d'Euler}\qquad
$\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$
et
$\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$}
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:
$\bullet\ \arg\lp z -3\rp=\dfrac\pi3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp-2z\rp=\dfrac\pi4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp(1+i)z\rp=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp\dfrac{1}{iz}\rp=\pi$
%\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-2i|=3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp\dfrac{z+2}{z-2i}\rp=\dfrac{\pi}{2}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1|=|z-2i|$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-i|=\sqrt2$
\enex
\bgex
Ecrire le nombre complexe $(\sqrt{3}-i)^{10}$ sous forme algébrique.
\enex
\bgex
Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les
écrire sous formes trigonométrique, exponentielle et algébrique:
\hspace{3cm}
$\dsp z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1+i)}$
\hspace{3cm}
$\dsp z_2=\frac{5(-1+i)}{\sqrt{3}+i}$
\enex
\clearpage\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes
$\dsp z_1=\sqrt{3}-i$, $\dsp z_2=1-i$,
et $\dsp Z=\frac{z_1}{z_2}$.
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$, et en déduire les
valeurs exactes de
$\dsp\cos\lp\frac{\pi}{12}\rp$ et
$\dsp\sin\lp\frac{\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes
$\dsp z_1=-1-i$, $\dsp z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$,
et $\dsp Z=z_1 z_2$.
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$.
En déduire les valeurs exactes de
$\dsp\cos\lp\frac{11\pi}{12}\rp$ et
$\dsp\sin\lp\frac{11\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex
\bgex
On considère l'équation $z^2-2\cos(\theta)z+1=0$, où $\theta$ est un réel donné dans $[0;2\pi[$.
\bgen[a)]
\item Vérifier que le discriminant de cette équation est $\Delta=-4\sin^2(\theta)$.
\vspd
\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation proposée, en discutant suivant les valeurs de $\theta$, en donnant les solutions sous formes exponentielle.
\enen
\enex
\bgex
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de :
$z^2-2z\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=0$.
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Donner sous forme exponentielle les solutions de
l'équation : $z^2+z+1=0$.
\vsp
\item Soit $\alpha$ un réel donné.
Factoriser l'expression: $z^2-e^{2i\alpha}$.
\vsp
\item En déduire les solutions de l'équation :
$z^4+z^2+1=0$.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex
\bgex On considère l'équation du second degré
$(E): z^2+(1+i\sqrt3)z-1=0$.
\bgen
\item Déterminer le discriminant $\Delta$ de cette équation.
\'Ecrire $\Delta$ sous forme exponentielle.
\item Donner un nombre complexe $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$.
\'Ecrire $\delta$ sous forme algébrique.
\item Vérifier que les formules usuelles du second degré,
$z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ et
$z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}$
donnent bien deux solutions de $(E)$.
\enen
\enex
\bgex {\it (Formules trigonométriques)}
Soit $\theta$ et $\theta'$ deux réels quelconques.
En exprimant de deux manières différentes le complexe $e^{i\theta}e^{i\theta'}$,
exprimer $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$ en fonction
des cosinus et sinus de $\theta$ et $\theta'$.
Exprimer de la même façon $\sin(2\theta)$ et $\cos(2\theta)$.
\enex
\bgprop{Pour tous réels $a$ et $b$,
\textbf{Formules d'addition}\\[.5em]
\bgmp{8cm}
$\bullet \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$\\[.5em]
$\bullet \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$
\enmp
\bgmp{8cm}
$\bullet \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$\\[.5em]
$\bullet \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$
\enmp
\bigskip
\textbf{Formules de duplication}\\[.5em]
$\bullet \cos(2a) = \cos^2(a)-\sin^2(a) = 2\cos^2(a)-1$\\[.5em]
$\bullet \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
}
\clearpage
\bgex
En utilisant la notation exponentielle complexe et/ou les formules trigonométriques, exprimer en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ les valeurs de :
\medskip
$\bullet\ \cos\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \cos\lp \dfrac{\pi}{2}-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp \dfrac{\pi}{2}-x\rp$
\medskip
$\bullet\ \cos\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \cos\lp \pi-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp \pi-x\rp$
\enex
\bgex
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Calculer $\dfrac\pi3-\dfrac\pi4$ et en déduire la valeur exacte de $\cos\lp\dfrac\pi{12}\rp$.
\item Déterminer la valeur exacte de $\cos\lp\dfrac\pi{12}\rp$ en remarquant que $\dfrac\pi6=2\tm\dfrac\pi{12}$.
\enen
\item Exprimer $\dfrac{5\pi}{12}$ en fonction de $\dfrac\pi6$ et $\dfrac\pi4$.
Déterminer alors les valeurs exactes de $\cos\lp\dfrac{5\pi}{12}\rp$ et $\sin\lp\dfrac{5\pi}{12}\rp$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item $x$ est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la
forme exponentielle de
$\dsp \lp \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rp e^{ix}$.
\vspace{-0.2cm}
\item Utiliser la question précédente pour résoudre dans
$]-\pi;\pi[$ l'équation
$\dsp \sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}$.
\enen
\enex
\bgex \textbf{Factorisation par l'angle moitié.}
\bgen[a)]
\item Factoriser $e^2x$ dans la somme $e^x+e^{3x}$.
\item Résoudre alors dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ l'équation:
$\cos(x)+\cos(3x)=0$.
\item Résoudre de la m\^eme fa\c con, dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$,
l'équation: $\sin(2x)+\sin(6x)=0$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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