sur le plan complexe, les nombres complexes en géométrie, et les congruences en arithmétiques. Ecritures algébriques, trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe. Application au calcul de la puissance d'un nombre complexe. Calcul des valeurs exactes des cosinus et sinus de π/12. Congruences et chiffre des unités d'une puissance
Devoir corrigé
Plan complexe, écriture algébrique et exponentielle - Congruences en arithmétique
Devoir corrigé
Matrices et nombres complexes
sur les matrices, calcul matriciel et les nombres complexes: géométrie, formes algébriques et exponentielles.
Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Ecrire sous forme algébrique
Exercices corrigés
Des équations complexes
Exercices corrigés
Une racine carrée complexe
Exercices corrigés
Une équation complexe
Exercices corrigés
Une équation complexe (bis)
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
%%\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{calc}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}



\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\vspace*{.2em}\@dottedtocline{1}{.5em}{3em}}
\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{1.5em}{1.3em}}
\makeatother

\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: plan complexe},
    pdftitle={Plan complexe},
    pdfkeywords={Mathématiques, maths expertes, terminale générale, 
      complexes, nombres complexes, géométrie complexe, plan complexe}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}




\headheight=0cm
\textheight=27.3cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.5cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$\bigskip
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Plan complexe}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths - Maths expertes}}
\rfoot{\TITLE\ - Maths expertes - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\vspace*{2cm}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp

\bigskip
\ct{\Large\bf Géométrie complexe et applications}

\vspace*{2cm}


\hspace*{5cm}\bgmp{10cm}\og en géométrie, le plus court chemin entre les éléments réels passe souvent par un détour dans l'imaginaire \fg,\enmp\\

\hfill\textit{Jean Gaston Darboux (1842 - 1917)}


\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize
\clearpage



\section{\'Echauffements}
\vspace{-1em}

\bgex
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal,
\bgen[a)]
\item Placer les points $A(2;4)$ et $B(-3,5)$.
\item Calculer les coordonnées de $\V{AB}$ et la longueur $AB$.
\item Calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$.
\item On note $A'$ et $A''$ les symétriques de $A$ respectivement par rapport à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées. 
  Donner les coordonnées de $A'$ et $A''$. 
\item Déterminer les coordonnées des points $M$ tels que $AM=BM$.
  Tracer ces points. 
\enen
\enex

\bgex
Tracer le cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points associés aux angles
\[\pi, \quad \dfrac\pi2, \quad \dfrac\pi6, \quad \dfrac\pi3, \quad \dfrac{3\pi}2, \quad \dfrac{2\pi}3,\quad \dfrac{5\pi}6\]
Donner pour chaque angle les valeurs exactes de leur cosinus et sinus. 
\enex

\bgex Simplifier:
$A=e^2e^5$, \quad 
$B=e^{2x}e{2+3x}$, \quad 
$C=\dfrac{\lp e^{3x}\rp^2e^{-2x}}{e^x}$, \quad 
$D=e^x\dfrac{\lp e^{2x}\rp^3}{\dfrac{e^{8x+1}}{e^x}}$
\enex


\section{Plan complexe}
\vspace{-.8cm}

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgdef{ \textbf{Plan complexe}

  Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$
  direct. 

  \`A tout nombre complexe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, 
  on associe le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$. 

  On dit que $z$ est l'\textbf{affixe} du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$; 
  et que le point $M$, ou le vecteur $\V{OM}$ est l'image de $z$. 
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.,-1)(4,4)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)

  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
  \put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
  \put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
  \rput{38}(1,1.1){$\V{OM}$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgdef{
  Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des
  abscisses, que l'on appelle donc {\bf axe réel}. 

  Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, $z=0+iy=iy$ est
  appelé un nombre {\bf imaginaire pur}. 
  Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées,
  que l'on appelle donc {\bf axe imaginaire (pur)}. 

  \medskip
  Dans le plan complexe, si le point $M$ a pour affixe $z$, 
  alors l'image $M'$ de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par
  rapport à l'axe des abscisses. 
}


\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectif: 
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $\dsp z_C=\sqrt{2}+\frac{3}{2}i$. 

Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex


\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit~réel.
\enex


\bgprop{
  \bgen[$\bullet$]
  \item Soit deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, alors 
    l'affixe du vecteur $\V{AB}$ est $z_{\V{AB}}=z_B-z_A$. 

  \item Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'affixe $z$ et $z'$, 
    alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe 
    $z+z'$.

  \item Pour $k\in\R$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz$. 

  
  \item Le milieu $I$ de $[MN]$ a pour affixe
    $z_I=\dfrac{z_M+z_N}2$
  \enen
}

\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective 
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$. 

\bgen[a)]
\item Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$. 
\item En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enen
\enex


\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective 
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et 
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$. 

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\enex

\bgex
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixes respectives \\
\ct{$z_A=3+i$ , \quad $z_B=2-2i$ , \quad $z_C=2i$ \ et \ $z_D=1+5i$.}

Faire une figure, puis montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un
parallélogramme. 
\enex



\section{Module et argument d'un nombre complexe}

\noindent
\bgmp{11cm}
\bgdef{Soit dans le plan complexe un point $M$ d'affixe $z=x+iy$, 
  $x\in\R$, $y\in\R$. 

  \vspd
  Alors, $OM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$. 
  Ce nombre, {\bf réel et positif}, 
  s'appelle {\bf le module} du nombre complexe $z$, et est noté 
  $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.

  On appelle {\bf argument} du nombre complexe non nul $z$, noté
  $\mbox{arg}(z)$, toute mesure 
  en radians de l'angle orienté: 
  $\lp\vec{u},\V{OM}\rp$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,3.)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,2.5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)

  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
  \put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
  \put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
  %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
  \rput{36}(1,1){$|z|$\scriptsize{$=\sqrt{x^2+y^2}$}}

  \psarc{->}(0.4,0.3){0.8}{-20}{34}
  \put(1.4,0.4){\scriptsize$\mbox{arg(z)}$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité
d'arguments: 
si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la
forme $\theta+k2\pi$, $k\in\Z$. 

\medskip
On note $\mbox{arg}(z)=\theta\ [2\pi]$, qui signifie exactement que
$\arg(z)=\theta +k2\pi$, avec $k\in\Z$. 


\bgex
Placer les points dont les affixes sont les complexes suivants, puis en calculer le module et déterminer un argument: 
$z_1=2+2i$ , \ 
$z_2=5$ , \ 
$z_3=3i$ , \ 
$z_4=-6$ , \ 
$z_5=-1+i$ , \ 
$z_6=\sqrt3+i$.
\enex


\noindent
\bgmp{10cm}
\bgprop{
  Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $\V{AB}(z_B-z_A)$ et donc, 

  \vspd
  \bgen[$\bullet$]
  \item $AB=\|\V{AB}\|=|z_B-z_a|$ 
    \vspd
  \item $\lp\vec{u},\V{AB}\rp=\mbox{arg}(z_{\V{AB}})=\mbox{arg}(z_B-z_A)$.
  \enen
}
\enmp
\bgmp{7cm}\vspace{1.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=.9cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.,-0.2)(6,4.6)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
  \put(-0.4,-0.4){\footnotesize$O$}
  \put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2)
  \rput(5.5,1.8){$M(z_B\!-\!z_A)$}
  \psarc{->}(0,0){2}{0}{26}\rput(2.5,0.6){$\theta$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2)
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2)(4,2)

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.5,2.5)(5.5,4.5)
  \rput(1.5,2.5){$\bullet$}\rput(1,3){$A(z_A)$}
  \rput(6,4.8){$B(z_B)$}
  \rput(3,4.5){\scriptsize$\V{AB}(z_{\V{AB}}\!=\!z_B\!-\!z_A)$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(1.5,2.5)(2.5,2.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.5,2.5)(4.5,2.5)
  \put(1.8,2){$\vec{u}$}
  \psarc{->}(1.5,2.5){2}{0}{26}
  \rput(5.5,3.3){\footnotesize$\theta=\mbox{arg}(|z_{\V{AB}}|$}
  \rput(6.,2.7){\footnotesize$=\mbox{arg}(z_B\!-\!z_A)$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgcorol{Soit $A\lp z_A\rp$, $B\lp z_B\rp$, $C\lp z_C\rp$ et $D\lp
  z_D\rp$ alors 
  \[\lp\V{AB};\V{CD}\rp=\arg\lp z_{\V{CD}}\rp-\arg\lp z_{\V{AB}}\rp = \arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp\]
}

\bgproof{En utilisant la relation de Chasles pour les angles orientés
  \[\bgar[t]{ll}
  \lp\V{AB};\V{CD}\rp
  &=\lp\V{AB};\vec{u}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[.3cm]
  &=-\lp\vec{u};\V{AB}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[0.3cm]
  &=-\arg\lp z_{\V{AB}}\rp+\arg\lp z_{\V{CD}}\rp\\[.3cm]
  &=-\arg\lp z_B-z_A\rp+\arg\lp z_D-z_C\rp
  =\arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp
  \enar\]

  \medskip
On démontrera la dernière égalité, l'argument du quotient, un peu plus tard. 
}


\bgex
Dans le plan complexe, 
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes: 
\[z_A=1+i\ ,\ z_B=4+5i\ ,\ z_C=5-2i\ .\]
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$, puis que
  $\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$. 
\item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère 
  $ABKC$ soit un rectangle. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère 
    $AGBC$ soit un parallélogramme. 
  \item Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$. 
  \enen
\enen
\enex


\bgprop{Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
  \bgen[$\bullet$]
  \item si $z=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$, 
    $z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$
    \vsp
  \item $|-z|=|z|$
  \qquad $\bullet$ $|\overline{z}|=|z|$
  \vspd
  \item $|zz'|=|z|\, |z'|$
  \qquad $\bullet$ $|z^n|=|z|^n$
  \qquad $\bullet$ $\dsp\frac{|z|}{|z'|}
    =\psline(0,-0.3)(0,0.5)\frac{z}{z'}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)$
    \vspd
  \item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
  \enen
}

\smallskip
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:\\
$\bullet\ |z-6i|=3$ 
\quad
$\bullet\ |z+3-2i|<2$
\quad
$\bullet\ |z+2|=|z-3i+1|$
\quad
$\bullet\ |2-iz|=|z+5|$
\quad
$\bullet\ \dsp \left|\frac{z+2i}{z+1-2i}\right|>1$


\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp
\psline(0,-0.3)(0,0.5)\,\overline{z}+\frac{i}{2}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)=4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\enex


\bgex
Soit $A$, $B$ et $C$ les trois points d'affixes $z_A=2i$, $z_B=2+i$ et $z_C=1-i$.

Montrer, de deux manières différentes, que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. 
\enex


\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}

\vspace{-1.2em}
\noindent
\bgmp{10cm}
\bgdef{
  Dans le plan complexe un point $M$ peut-être repéré par ses
  coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$, 
  ou par ses coordonnées polaires $(r;\theta)$, 
  avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$.

  \vspd
  On a les relations: 
  \[ 
  \la\bgar{ll}
  r=\sqrt{x^2+y^2} \\ 
  \dsp\cos\theta=\frac{x}{r}\ ,\ \sin\theta=\frac{y}{r}
  \enar\right.
  \Longleftrightarrow
  \la\bgar{ll}
  x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta
  \enar\right.
  \]
  \vsp
  L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors, 
  \[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)
  \]
  \bgmp{18cm}
  Cette écriture est la {\bf forme trigonométrique} de $z$.
  \enmp
}
\enmp\quad
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(3,2.8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.5)(0,3.5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)

  \rput(-0.2,-0.2){$O$}%\put(1,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,1){$\vec{v}$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.5)(4,2.5)
  \put(2.8,2.7){$M(z=x+iy)$}
  \rput(3.8,-0.2){\scriptsize$x\!=\!r\cos\theta$}
  \rput(-0.6,2.5){\scriptsize$y\!=\!r\sin\theta$}
  %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
  \rput{35}(2.2,1.65){$r\!=\!|z|$\scriptsize{$\!=\!\sqrt{x^2+y^2}$}}

  \pscircle(0,0){2}

  \psarc{->}(0.4,0.3){0.5}{-25}{30}
  \rput(1.55,0.35){\scriptsize$\theta\!\!=\!\!\mbox{arg(z)}$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.08)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.08)(1.7,1.08)
  \rput(-0.4,1.1){\scriptsize$\sin\theta$}
  \rput(1.6,-0.2){\scriptsize$\cos\theta$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants: 

\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&$\bullet\ z_2=-4$
&$\bullet\ z_3=2i$
&$\bullet\ z_4=-1+i$
&$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_6=-17$
&$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&$\bullet\ z_8=5i$
&$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. 
\end{tabular}
\enex



\section{Exponentielle complexe}

On considère la fonction complexe $f$ définie sur $\R$ par 
$f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$. 
Comme les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\R$, $f$
l'est aussi, et, 
\[f'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos\theta
=i(i\sin\theta+\cos\theta)
=if(\theta)\]
  
Comme de plus, $f(0)=\cos0+i\sin0=1$, 
on en déduit que $f$ est définie de manière unique par l'expression
$f(\theta)=e^{i\theta}$. 


\bgprop{Pour tout $\theta\in\R$, \fbox{$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.}

  \bigskip
  Ainsi, tout complexe $z$ s'écrit sous la forme exponentielle
  complexe: 
  \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}
  \]
  où, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$. 
}

\bgmp{9.6cm}
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}\\ 
$\dsp\bullet\ e^{i0}=e^{i2\pi}=1$ \quad
$\dsp\bullet\ e^{i\pi}=-1$\quad
$\dsp\bullet\ e^{i\frac{\pi}{2}}=i$\quad
$\dsp\bullet\ e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$\vsp\\
$\bgar{ll}
\dsp\bullet\ e^{i\frac{2\pi}{3}}
&\dsp=\cos\lp\frac{2\pi}{3}\rp+i\sin\lp\frac{2\pi}{3}\rp \\
&\dsp=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\enar$\vspd\\
$\bgar{ll}
\dsp\bullet\ \frac{3}{2}+\frac{3}{2}i 
&\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big(\cos\lp\frac{\pi}{4}\rp+i\sin\lp\frac{\pi}{4}\rp\Big)\\
&\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\enar$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(2,2)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-1.5,0)(2,0)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-1.3)(0,1.9)
  \pscircle(0,0){1}
  
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \rput(1,0){$\bullet$}
  \rput(0.95,-0.15){$\dsp 1\!=\!e^{i0}$}
  \rput(1.07,-0.3){$\dsp=\!e^{i2\pi}$}

  \rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.4,1.15){$\dsp i\!=\!e^{i\frac{\pi}{2}}$}

  \rput(0,-1){$\bullet$}\rput(0.4,-1.15){$\dsp -i\!\!=\!e^{i\frac{3\pi}{2}}$}

  \rput(-1,0){$\bullet$}\rput(-1.4,0.1){$\dsp -1\!=\!e^{i\pi}$}

  \rput(-0.5,0.866){$\bullet$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,0.866)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0.866)(-0.5,0.866)
  \rput(-0.75,0.95){$\dsp e^{i\frac{2\pi}{3}}$}
  \rput(-0.55,-0.15){$-\frac{1}{2}$}
  \rput(0.15,0.8){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}

  \rput(1.5,1.5){$\bullet$}\rput(1.65,1.65){$\dsp e^{i\frac{\pi}{4}}$}
  \psline[linewidth=0.5pt](0,0)(1.5,1.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,1.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.5)(1.5,1.5)
  \rput(1.5,-0.15){$\frac{3}{2}$}
  \rput(-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
  \psarc{->}(0,0){1.4}{0}{45}\rput(1.3,0.8){$\frac{\pi}{4}$}

\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et
algébrique les nombres complexes: 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{2}e^{3i\frac{\pi}{4}}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 5e^{i\frac{5\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\,e^{-i\frac{3\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{3e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$
\enex


\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres complexes: 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 5$ 
\hspace{0.6cm}
$\dsp\bullet\ 4+4i$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac32 i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{2}{1-i}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{3}-i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^2$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^3$
\enex


\bgprop{ Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, et tout entier naturel
  $n$, 

  \vsp
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\dsp|e^{i\theta}|=1$, et
    $\dsp\mbox{arg}(e^{i\theta})=\theta$ 
    \vsp
  \item[$\bullet$]
    $\dsp e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$\ ;\ \ 
    $\dsp\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$\ ;\ \ 
    $\dsp\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
    \vsp
  \item[$\bullet$] $\lp e^{i\theta}\rp^n=e^{in\theta}$ 
    (Formule de Moivre)\\[.3em]
    c'est-à-dire, 
    $\lp\cos\theta+i\sin\theta\rp^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$
    \medskip
  \item[$\bullet$] $e^{i\tht}=e^{i\tht'} \iff \tht=\tht'\ [2\pi]$
  \enit
}

\bgcorol{
  Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, 
  
  \vsp
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\mbox{arg}(zz')=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$
    \vspd
  \item[$\bullet$] $\mbox{arg}(z^n)=n\mbox{arg}(z)$
    \vspd
  \item[$\bullet$]
    $\dsp\mbox{arg}\lp\frac{z}{z'}\rp=\mbox{arg}(z)-\mbox{arg}(z')$ 
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} 
Soit $z=re^{i\theta}$, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$, 
et $z'=r'e^{i\theta'}$, $r'=|z'|$ et $\theta'=\mbox{arg}(z')$, 
alors, 

$zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$, et donc, 
$|zz'|=rr'=|z||z'|$, et 
$\mbox{arg}(zz')=\theta+\theta'=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$. 

\vspd
De même pour la puissance: 
$z^n=\lp re^{i\theta}\rp^n=r^n\lp e^{i\theta}\rp^n
=r^ne^{in\theta}$, et donc, 
$|z^n|=r^n=|z|^n$ et $\mbox{arg}(z^n)=n\theta=n\mbox{arg}(z)$


\bgex
On donne $\dsp z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}$, 
$\dsp z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et 
$\dsp z_3=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$. 

\vsp
Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes: 
$z_1 z_2 z_3$, $\dsp\frac{z_1}{z_2 z_3}$, 
$z_2^2$, $z_3^6$.
\enex

\bgex
Simplifier l'expression, où $\theta\in\R$, 
$\dsp \lp\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^2
+\lp\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\rp^2$. 

Etait-ce prévisible sans calcul ?
\enex

\bgprop{\textbf{Formules d'Euler}\qquad 
  $\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$
  et 
  $\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$}


\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:

$\bullet\ \arg\lp z -3\rp=\dfrac\pi3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp-2z\rp=\dfrac\pi4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp(1+i)z\rp=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp\dfrac{1}{iz}\rp=\pi$

%\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-2i|=3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \arg\lp\dfrac{z+2}{z-2i}\rp=\dfrac{\pi}{2}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1|=|z-2i|$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-i|=\sqrt2$
\enex

\bgex
Ecrire le nombre complexe $(\sqrt{3}-i)^{10}$ sous forme algébrique. 
\enex


\bgex
Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les
écrire sous formes trigonométrique, exponentielle et algébrique: 

\hspace{3cm}
$\dsp z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1+i)}$
\hspace{3cm}
$\dsp z_2=\frac{5(-1+i)}{\sqrt{3}+i}$
\enex


\clearpage\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 
  $\dsp z_1=\sqrt{3}-i$, $\dsp z_2=1-i$, 
  et $\dsp Z=\frac{z_1}{z_2}$. 
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$, et en déduire les
  valeurs exactes de  
  $\dsp\cos\lp\frac{\pi}{12}\rp$ et 
    $\dsp\sin\lp\frac{\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex

\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 
  $\dsp z_1=-1-i$, $\dsp z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, 
  et $\dsp Z=z_1 z_2$. 
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$. 
En déduire les valeurs exactes de 
  $\dsp\cos\lp\frac{11\pi}{12}\rp$ et 
    $\dsp\sin\lp\frac{11\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex


\bgex
On considère l'équation $z^2-2\cos(\theta)z+1=0$, où $\theta$ est un réel donné dans $[0;2\pi[$. 

\bgen[a)]
\item Vérifier que le discriminant de cette équation est $\Delta=-4\sin^2(\theta)$. 
  \vspd
\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation proposée, en discutant suivant les valeurs de $\theta$, en donnant les solutions sous formes exponentielle. 
\enen
\enex

\bgex
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de : 
$z^2-2z\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=0$. 
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Donner sous forme exponentielle les solutions de 
l'équation : $z^2+z+1=0$. 
\vsp
\item Soit $\alpha$ un réel donné. 
  Factoriser l'expression: $z^2-e^{2i\alpha}$. 
  \vsp
\item En déduire les solutions de l'équation : 
  $z^4+z^2+1=0$. 
\enen
\enex

\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex


\bgex On considère l'équation du second degré 
$(E): z^2+(1+i\sqrt3)z-1=0$. 

\bgen
\item Déterminer le discriminant $\Delta$ de cette équation. 
  \'Ecrire $\Delta$ sous forme exponentielle. 

\item Donner un nombre complexe $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$. 
  \'Ecrire $\delta$ sous forme algébrique. 
\item Vérifier que les formules usuelles du second degré, 
  $z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ et
  $z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}$
  donnent bien deux solutions de $(E)$. 
\enen
\enex



\bgex {\it (Formules trigonométriques)} 
Soit $\theta$ et $\theta'$ deux réels quelconques. 

En exprimant de deux manières différentes le complexe $e^{i\theta}e^{i\theta'}$, 
exprimer $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$ en fonction
des cosinus et sinus de $\theta$ et $\theta'$. 

Exprimer de la même façon $\sin(2\theta)$ et $\cos(2\theta)$.
\enex

\bgprop{Pour tous réels $a$ et $b$,

  \textbf{Formules d'addition}\\[.5em]
  \bgmp{8cm}
  $\bullet \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$\\[.5em]
  $\bullet \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$
  \enmp
  \bgmp{8cm}
  $\bullet \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$\\[.5em]
  $\bullet \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$
  \enmp

  \bigskip
  \textbf{Formules de duplication}\\[.5em]
  $\bullet \cos(2a) = \cos^2(a)-\sin^2(a) = 2\cos^2(a)-1$\\[.5em]
  $\bullet \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
}


\clearpage
\bgex
En utilisant la  notation exponentielle complexe et/ou les formules trigonométriques, exprimer en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ les valeurs de : 

\medskip
$\bullet\ \cos\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \cos\lp \dfrac{\pi}{2}-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp \dfrac{\pi}{2}-x\rp$

\medskip
$\bullet\ \cos\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \cos\lp \pi-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \sin\lp \pi-x\rp$
\enex


\bgex
\bgen
\item
  \bgen[a)]
\item Calculer $\dfrac\pi3-\dfrac\pi4$ et en déduire la valeur exacte de $\cos\lp\dfrac\pi{12}\rp$. 
\item Déterminer la valeur exacte de $\cos\lp\dfrac\pi{12}\rp$ en remarquant que $\dfrac\pi6=2\tm\dfrac\pi{12}$.
  \enen

\item Exprimer $\dfrac{5\pi}{12}$ en fonction de $\dfrac\pi6$ et $\dfrac\pi4$.
  Déterminer alors les valeurs exactes de $\cos\lp\dfrac{5\pi}{12}\rp$ et $\sin\lp\dfrac{5\pi}{12}\rp$. 
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item $x$ est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la
  forme exponentielle de 
  $\dsp \lp \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rp e^{ix}$. 

\vspace{-0.2cm}
\item Utiliser la question précédente pour résoudre dans
  $]-\pi;\pi[$ l'équation  
  $\dsp \sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}$.
\enen
\enex


\bgex \textbf{Factorisation par l'angle moitié.}
\bgen[a)]
\item Factoriser $e^2x$ dans la somme $e^x+e^{3x}$. 
\item Résoudre alors dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ l'équation: 
$\cos(x)+\cos(3x)=0$. 
\item Résoudre de la m\^eme fa\c con, dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$, 
    l'équation:  $\sin(2x)+\sin(6x)=0$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source