Source Latex: Cours de mathématiques, Nombres complexes: géométrie du plan complexe
Terminale générale, maths expertes
Nombres complexes: géométrie du plan complexe
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- Description
- Cours de mathématiques: Nombres complexes - Géométrie du plan complexe
- Niveau
- Terminale générale, maths expertes
- Table des matières
- Introduction - Résolution d'équations algébriques
- Échauffement - Exercices pour débuter, révisions …
- Plan complexe
- Module et argument d'un nombre complexe
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe
- Exponentielle complexe
- Exercices
- Mots clé
- Cours de mathématiques, plan complexe, géométrie, complexes, nombres complexes, i, réels et imaginaires, plan complexe, module, argument
- Voir aussi:
Documentation sur LaTeX- Source
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %%\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{calc} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \makeatletter \renewcommand*\l@section{\vspace*{.2em}\@dottedtocline{1}{.5em}{3em}} \renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{1.5em}{1.3em}} \makeatother \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Cours mathématiques: plan complexe}, pdftitle={Plan complexe}, pdfkeywords={Mathématiques, maths expertes, terminale générale, complexes, nombres complexes, géométrie complexe, plan complexe} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-.5cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\No{\N_0} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\tht{\theta} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \headheight=0cm \textheight=27.3cm \topmargin=-1.8cm \footskip=.8cm \textwidth=18.8cm \oddsidemargin=-1.5cm \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } %\newenvironment{proof}{ % \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} \nwc{\bgproof}[1]{ \vspd\noindent \ul{Démonstration:} #1 \hfill$\square$\bigskip } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Plan complexe} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths - Maths expertes}} \rfoot{\TITLE\ - Maths expertes - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{2cm} \hfill{\LARGE \bf \TITLE} \hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp \bigskip \ct{\Large\bf Géométrie complexe et applications} \vspace*{2cm} \hspace*{5cm}\bgmp{10cm}\og en géométrie, le plus court chemin entre les éléments réels passe souvent par un détour dans l'imaginaire \fg,\enmp\\ \hfill\textit{Jean Gaston Darboux (1842 - 1917)} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\normalsize \tableofcontents \renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize \clearpage \section{\'Echauffements} \vspace{-1em} \bgex Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, \bgen[a)] \item Placer les points $A(2;4)$ et $B(-3,5)$. \item Calculer les coordonnées de $\V{AB}$ et la longueur $AB$. \item Calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$. \item On note $A'$ et $A''$ les symétriques de $A$ respectivement par rapport à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées. Donner les coordonnées de $A'$ et $A''$. \item Déterminer les coordonnées des points $M$ tels que $AM=BM$. Tracer ces points. \enen \enex \bgex Tracer le cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points associés aux angles \[\pi, \quad \dfrac\pi2, \quad \dfrac\pi6, \quad \dfrac\pi3, \quad \dfrac{3\pi}2, \quad \dfrac{2\pi}3,\quad \dfrac{5\pi}6\] Donner pour chaque angle les valeurs exactes de leur cosinus et sinus. \enex \bgex Simplifier: $A=e^2e^5$, \quad $B=e^{2x}e{2+3x}$, \quad $C=\dfrac{\lp e^{3x}\rp^2e^{-2x}}{e^x}$, \quad $D=e^x\dfrac{\lp e^{2x}\rp^3}{\dfrac{e^{8x+1}}{e^x}}$ \enex \section{Plan complexe} \vspace{-.8cm} \noindent \bgmp{12cm} \bgdef{ \textbf{Plan complexe} Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ direct. \`A tout nombre complexe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, on associe le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$. On dit que $z$ est l'\textbf{affixe} du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$; et que le point $M$, ou le vecteur $\V{OM}$ est l'image de $z$. } \enmp \bgmp{6cm} \psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1.,-1)(4,4) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8) \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$} \put(2.3,2){$M(z=x+iy)$} \put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$} \rput{38}(1,1.1){$\V{OM}$} \end{pspicture} \enmp \bgdef{ Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des abscisses, que l'on appelle donc {\bf axe réel}. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, $z=0+iy=iy$ est appelé un nombre {\bf imaginaire pur}. Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées, que l'on appelle donc {\bf axe imaginaire (pur)}. \medskip Dans le plan complexe, si le point $M$ a pour affixe $z$, alors l'image $M'$ de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses. } \bgex Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectif: $z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $\dsp z_C=\sqrt{2}+\frac{3}{2}i$. Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$. \enex \bgex Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit~réel. \enex \bgprop{ \bgen[$\bullet$] \item Soit deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\V{AB}$ est $z_{\V{AB}}=z_B-z_A$. \item Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'affixe $z$ et $z'$, alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe $z+z'$. \item Pour $k\in\R$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz$. \item Le milieu $I$ de $[MN]$ a pour affixe $z_I=\dfrac{z_M+z_N}2$ \enen } \bgex Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective $-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$. \bgen[a)] \item Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$. \item En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \item Placer les points $A$, $B$ et $C$. \enen \enex \bgex Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective $\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et $\dsp -1-\frac{11}{2}i$. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \enex \bgex On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives \\ \ct{$z_A=3+i$ , \quad $z_B=2-2i$ , \quad $z_C=2i$ \ et \ $z_D=1+5i$.} Faire une figure, puis montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un parallélogramme. \enex \section{Module et argument d'un nombre complexe} \noindent \bgmp{11cm} \bgdef{Soit dans le plan complexe un point $M$ d'affixe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$. \vspd Alors, $OM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$. Ce nombre, {\bf réel et positif}, s'appelle {\bf le module} du nombre complexe $z$, et est noté $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$. On appelle {\bf argument} du nombre complexe non nul $z$, noté $\mbox{arg}(z)$, toute mesure en radians de l'angle orienté: $\lp\vec{u},\V{OM}\rp$. } \enmp \bgmp{6cm} \psset{unit=1.4cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,3.) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,2.5) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8) \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$} \put(2.3,2){$M(z=x+iy)$} \put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$} %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}} \rput{36}(1,1){$|z|$\scriptsize{$=\sqrt{x^2+y^2}$}} \psarc{->}(0.4,0.3){0.8}{-20}{34} \put(1.4,0.4){\scriptsize$\mbox{arg(z)}$} \end{pspicture} \enmp \vspd\noindent \ul{Remarque:} Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité d'arguments: si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la forme $\theta+k2\pi$, $k\in\Z$. \medskip On note $\mbox{arg}(z)=\theta\ [2\pi]$, qui signifie exactement que $\arg(z)=\theta +k2\pi$, avec $k\in\Z$. \bgex Placer les points dont les affixes sont les complexes suivants, puis en calculer le module et déterminer un argument: $z_1=2+2i$ , \ $z_2=5$ , \ $z_3=3i$ , \ $z_4=-6$ , \ $z_5=-1+i$ , \ $z_6=\sqrt3+i$. \enex \noindent \bgmp{10cm} \bgprop{ Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $\V{AB}(z_B-z_A)$ et donc, \vspd \bgen[$\bullet$] \item $AB=\|\V{AB}\|=|z_B-z_a|$ \vspd \item $\lp\vec{u},\V{AB}\rp=\mbox{arg}(z_{\V{AB}})=\mbox{arg}(z_B-z_A)$. \enen } \enmp \bgmp{7cm}\vspace{1.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=.9cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1.,-0.2)(6,4.6) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,5) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \put(-0.4,-0.4){\footnotesize$O$} \put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$} \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2) \rput(5.5,1.8){$M(z_B\!-\!z_A)$} \psarc{->}(0,0){2}{0}{26}\rput(2.5,0.6){$\theta$} %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2) %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2)(4,2) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.5,2.5)(5.5,4.5) \rput(1.5,2.5){$\bullet$}\rput(1,3){$A(z_A)$} \rput(6,4.8){$B(z_B)$} \rput(3,4.5){\scriptsize$\V{AB}(z_{\V{AB}}\!=\!z_B\!-\!z_A)$} \psline[linewidth=1.4pt]{->}(1.5,2.5)(2.5,2.5) \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.5,2.5)(4.5,2.5) \put(1.8,2){$\vec{u}$} \psarc{->}(1.5,2.5){2}{0}{26} \rput(5.5,3.3){\footnotesize$\theta=\mbox{arg}(|z_{\V{AB}}|$} \rput(6.,2.7){\footnotesize$=\mbox{arg}(z_B\!-\!z_A)$} \end{pspicture} \enmp \bgcorol{Soit $A\lp z_A\rp$, $B\lp z_B\rp$, $C\lp z_C\rp$ et $D\lp z_D\rp$ alors \[\lp\V{AB};\V{CD}\rp=\arg\lp z_{\V{CD}}\rp-\arg\lp z_{\V{AB}}\rp = \arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp\] } \bgproof{En utilisant la relation de Chasles pour les angles orientés \[\bgar[t]{ll} \lp\V{AB};\V{CD}\rp &=\lp\V{AB};\vec{u}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[.3cm] &=-\lp\vec{u};\V{AB}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[0.3cm] &=-\arg\lp z_{\V{AB}}\rp+\arg\lp z_{\V{CD}}\rp\\[.3cm] &=-\arg\lp z_B-z_A\rp+\arg\lp z_D-z_C\rp =\arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp \enar\] \medskip On démontrera la dernière égalité, l'argument du quotient, un peu plus tard. } \bgex Dans le plan complexe, $A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes: \[z_A=1+i\ ,\ z_B=4+5i\ ,\ z_C=5-2i\ .\] \bgen \item Montrer que $AB=AC$, puis que $\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$. \item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère $ABKC$ soit un rectangle. \item \bgen[a)] \item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère $AGBC$ soit un parallélogramme. \item Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$. \enen \enen \enex \bgprop{Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$: \bgen[$\bullet$] \item si $z=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$, $z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$ \vsp \item $|-z|=|z|$ \qquad $\bullet$ $|\overline{z}|=|z|$ \vspd \item $|zz'|=|z|\, |z'|$ \qquad $\bullet$ $|z^n|=|z|^n$ \qquad $\bullet$ $\dsp\frac{|z|}{|z'|} =\psline(0,-0.3)(0,0.5)\frac{z}{z'}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)$ \vspd \item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire) \enen } \smallskip \bgex Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:\\ $\bullet\ |z-6i|=3$ \quad $\bullet\ |z+3-2i|<2$ \quad $\bullet\ |z+2|=|z-3i+1|$ \quad $\bullet\ |2-iz|=|z+5|$ \quad $\bullet\ \dsp \left|\frac{z+2i}{z+1-2i}\right|>1$ \vsp\noindent $\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ |z-3|=|z+2i|$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \dsp \psline(0,-0.3)(0,0.5)\,\overline{z}+\frac{i}{2}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)=4$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$ \enex \bgex Soit $A$, $B$ et $C$ les trois points d'affixes $z_A=2i$, $z_B=2+i$ et $z_C=1-i$. Montrer, de deux manières différentes, que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. \enex \section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe} \vspace{-1.2em} \noindent \bgmp{10cm} \bgdef{ Dans le plan complexe un point $M$ peut-être repéré par ses coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$, ou par ses coordonnées polaires $(r;\theta)$, avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$. \vspd On a les relations: \[ \la\bgar{ll} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \dsp\cos\theta=\frac{x}{r}\ ,\ \sin\theta=\frac{y}{r} \enar\right. \Longleftrightarrow \la\bgar{ll} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \enar\right. \] \vsp L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors, \[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big) \] \bgmp{18cm} Cette écriture est la {\bf forme trigonométrique} de $z$. \enmp } \enmp\quad \bgmp{6cm} \psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(3,2.8) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.5)(0,3.5) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0) \rput(-0.2,-0.2){$O$}%\put(1,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,1){$\vec{v}$} \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.5)(4,2.5) \put(2.8,2.7){$M(z=x+iy)$} \rput(3.8,-0.2){\scriptsize$x\!=\!r\cos\theta$} \rput(-0.6,2.5){\scriptsize$y\!=\!r\sin\theta$} %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}} \rput{35}(2.2,1.65){$r\!=\!|z|$\scriptsize{$\!=\!\sqrt{x^2+y^2}$}} \pscircle(0,0){2} \psarc{->}(0.4,0.3){0.5}{-25}{30} \rput(1.55,0.35){\scriptsize$\theta\!\!=\!\!\mbox{arg(z)}$} \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.08) \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.08)(1.7,1.08) \rput(-0.4,1.1){\scriptsize$\sin\theta$} \rput(1.6,-0.2){\scriptsize$\cos\theta$} \end{pspicture} \enmp \bgex Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants: \vsp \begin{tabular}{*5{p{3cm}}} $\bullet\ z_1=3$ &$\bullet\ z_2=-4$ &$\bullet\ z_3=2i$ &$\bullet\ z_4=-1+i$ &$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$ \\[0.4cm] $\bullet\ z_6=-17$ &$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$ &$\bullet\ z_8=5i$ &$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. \end{tabular} \enex \section{Exponentielle complexe} On considère la fonction complexe $f$ définie sur $\R$ par $f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$. Comme les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\R$, $f$ l'est aussi, et, \[f'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos\theta =i(i\sin\theta+\cos\theta) =if(\theta)\] Comme de plus, $f(0)=\cos0+i\sin0=1$, on en déduit que $f$ est définie de manière unique par l'expression $f(\theta)=e^{i\theta}$. \bgprop{Pour tout $\theta\in\R$, \fbox{$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.} \bigskip Ainsi, tout complexe $z$ s'écrit sous la forme exponentielle complexe: \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta} \] où, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$. } \bgmp{9.6cm} \vspd\noindent \ul{Exemples:}\\ $\dsp\bullet\ e^{i0}=e^{i2\pi}=1$ \quad $\dsp\bullet\ e^{i\pi}=-1$\quad $\dsp\bullet\ e^{i\frac{\pi}{2}}=i$\quad $\dsp\bullet\ e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$\vsp\\ $\bgar{ll} \dsp\bullet\ e^{i\frac{2\pi}{3}} &\dsp=\cos\lp\frac{2\pi}{3}\rp+i\sin\lp\frac{2\pi}{3}\rp \\ &\dsp=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\enar$\vspd\\ $\bgar{ll} \dsp\bullet\ \frac{3}{2}+\frac{3}{2}i &\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big(\cos\lp\frac{\pi}{4}\rp+i\sin\lp\frac{\pi}{4}\rp\Big)\\ &\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\enar$ \enmp \bgmp{6cm} \psset{unit=2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(2,2) \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-1.5,0)(2,0) \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-1.3)(0,1.9) \pscircle(0,0){1} \rput(-0.15,-0.15){$O$} \rput(1,0){$\bullet$} \rput(0.95,-0.15){$\dsp 1\!=\!e^{i0}$} \rput(1.07,-0.3){$\dsp=\!e^{i2\pi}$} \rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.4,1.15){$\dsp i\!=\!e^{i\frac{\pi}{2}}$} \rput(0,-1){$\bullet$}\rput(0.4,-1.15){$\dsp -i\!\!=\!e^{i\frac{3\pi}{2}}$} \rput(-1,0){$\bullet$}\rput(-1.4,0.1){$\dsp -1\!=\!e^{i\pi}$} \rput(-0.5,0.866){$\bullet$} \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,0.866) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0.866)(-0.5,0.866) \rput(-0.75,0.95){$\dsp e^{i\frac{2\pi}{3}}$} \rput(-0.55,-0.15){$-\frac{1}{2}$} \rput(0.15,0.8){$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \rput(1.5,1.5){$\bullet$}\rput(1.65,1.65){$\dsp e^{i\frac{\pi}{4}}$} \psline[linewidth=0.5pt](0,0)(1.5,1.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,1.5) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.5)(1.5,1.5) \rput(1.5,-0.15){$\frac{3}{2}$} \rput(-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$} \psarc{->}(0,0){1.4}{0}{45}\rput(1.3,0.8){$\frac{\pi}{4}$} \end{pspicture} \enmp \bgex Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et algébrique les nombres complexes: \vsp\noindent $\dsp\bullet\ 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \sqrt{2}e^{3i\frac{\pi}{4}}$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ 5e^{i\frac{5\pi}{3}}$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\,e^{-i\frac{3\pi}{2}}$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \dfrac{3e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$ \enex \bgex Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres complexes: \vsp\noindent $\dsp\bullet\ 5$ \hspace{0.6cm} $\dsp\bullet\ 4+4i$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \dfrac32 i$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \dfrac{2}{1-i}$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \sqrt{3}-i$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^2$ \hspace{1cm} $\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^3$ \enex \bgprop{ Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, et tout entier naturel $n$, \vsp \bgit \item[$\bullet$] $\dsp|e^{i\theta}|=1$, et $\dsp\mbox{arg}(e^{i\theta})=\theta$ \vsp \item[$\bullet$] $\dsp e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$\ ;\ \ $\dsp\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$\ ;\ \ $\dsp\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ \vsp \item[$\bullet$] $\lp e^{i\theta}\rp^n=e^{in\theta}$ (Formule de Moivre)\\[.3em] c'est-à-dire, $\lp\cos\theta+i\sin\theta\rp^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ \medskip \item[$\bullet$] $e^{i\tht}=e^{i\tht'} \iff \tht=\tht'\ [2\pi]$ \enit } \bgcorol{ Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, \vsp \bgit \item[$\bullet$] $\mbox{arg}(zz')=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$ \vspd \item[$\bullet$] $\mbox{arg}(z^n)=n\mbox{arg}(z)$ \vspd \item[$\bullet$] $\dsp\mbox{arg}\lp\frac{z}{z'}\rp=\mbox{arg}(z)-\mbox{arg}(z')$ \enit } \vspd\noindent \ul{Démonstration:} Soit $z=re^{i\theta}$, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$, et $z'=r'e^{i\theta'}$, $r'=|z'|$ et $\theta'=\mbox{arg}(z')$, alors, $zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$, et donc, $|zz'|=rr'=|z||z'|$, et $\mbox{arg}(zz')=\theta+\theta'=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$. \vspd De même pour la puissance: $z^n=\lp re^{i\theta}\rp^n=r^n\lp e^{i\theta}\rp^n =r^ne^{in\theta}$, et donc, $|z^n|=r^n=|z|^n$ et $\mbox{arg}(z^n)=n\theta=n\mbox{arg}(z)$ \bgex On donne $\dsp z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}$, $\dsp z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et $\dsp z_3=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$. \vsp Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes: $z_1 z_2 z_3$, $\dsp\frac{z_1}{z_2 z_3}$, $z_2^2$, $z_3^6$. \enex \bgex Simplifier l'expression, où $\theta\in\R$, $\dsp \lp\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^2 +\lp\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\rp^2$. Etait-ce prévisible sans calcul ? \enex \bgprop{\textbf{Formules d'Euler}\qquad $\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ et $\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$} \bgex Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que: $\bullet\ \arg\lp z -3\rp=\dfrac\pi3$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \arg\lp-2z\rp=\dfrac\pi4$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \arg\lp(1+i)z\rp=0$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \arg\lp\dfrac{1}{iz}\rp=\pi$ %\hspace{0.5cm} $\bullet\ |z-2i|=3$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \arg\lp\dfrac{z+2}{z-2i}\rp=\dfrac{\pi}{2}$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ |z+1|=|z-2i|$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ |z+1-i|=\sqrt2$ \enex \bgex Ecrire le nombre complexe $(\sqrt{3}-i)^{10}$ sous forme algébrique. \enex \bgex Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les écrire sous formes trigonométrique, exponentielle et algébrique: \hspace{3cm} $\dsp z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1+i)}$ \hspace{3cm} $\dsp z_2=\frac{5(-1+i)}{\sqrt{3}+i}$ \enex \clearpage\bgex \bgit \item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes $\dsp z_1=\sqrt{3}-i$, $\dsp z_2=1-i$, et $\dsp Z=\frac{z_1}{z_2}$. \vsp \item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$, et en déduire les valeurs exactes de $\dsp\cos\lp\frac{\pi}{12}\rp$ et $\dsp\sin\lp\frac{\pi}{12}\rp$. \enit \enex \bgex \bgit \item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes $\dsp z_1=-1-i$, $\dsp z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, et $\dsp Z=z_1 z_2$. \vsp \item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$. En déduire les valeurs exactes de $\dsp\cos\lp\frac{11\pi}{12}\rp$ et $\dsp\sin\lp\frac{11\pi}{12}\rp$. \enit \enex \bgex On considère l'équation $z^2-2\cos(\theta)z+1=0$, où $\theta$ est un réel donné dans $[0;2\pi[$. \bgen[a)] \item Vérifier que le discriminant de cette équation est $\Delta=-4\sin^2(\theta)$. \vspd \item Résoudre alors dans $\C$ l'équation proposée, en discutant suivant les valeurs de $\theta$, en donnant les solutions sous formes exponentielle. \enen \enex \bgex Ecrire sous forme exponentielle les solutions de : $z^2-2z\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=0$. \enex \bgex \bgen[a)] \item Donner sous forme exponentielle les solutions de l'équation : $z^2+z+1=0$. \vsp \item Soit $\alpha$ un réel donné. Factoriser l'expression: $z^2-e^{2i\alpha}$. \vsp \item En déduire les solutions de l'équation : $z^4+z^2+1=0$. \enen \enex \bgex Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$. \enex \bgex On considère l'équation du second degré $(E): z^2+(1+i\sqrt3)z-1=0$. \bgen \item Déterminer le discriminant $\Delta$ de cette équation. \'Ecrire $\Delta$ sous forme exponentielle. \item Donner un nombre complexe $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$. \'Ecrire $\delta$ sous forme algébrique. \item Vérifier que les formules usuelles du second degré, $z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}$ donnent bien deux solutions de $(E)$. \enen \enex \bgex {\it (Formules trigonométriques)} Soit $\theta$ et $\theta'$ deux réels quelconques. En exprimant de deux manières différentes le complexe $e^{i\theta}e^{i\theta'}$, exprimer $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$ en fonction des cosinus et sinus de $\theta$ et $\theta'$. Exprimer de la même façon $\sin(2\theta)$ et $\cos(2\theta)$. \enex \bgprop{Pour tous réels $a$ et $b$, \textbf{Formules d'addition}\\[.5em] \bgmp{8cm} $\bullet \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$\\[.5em] $\bullet \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ \enmp \bgmp{8cm} $\bullet \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$\\[.5em] $\bullet \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$ \enmp \bigskip \textbf{Formules de duplication}\\[.5em] $\bullet \cos(2a) = \cos^2(a)-\sin^2(a) = 2\cos^2(a)-1$\\[.5em] $\bullet \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$ } \clearpage \bgex En utilisant la notation exponentielle complexe et/ou les formules trigonométriques, exprimer en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ les valeurs de : \medskip $\bullet\ \cos\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \sin\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \cos\lp \dfrac{\pi}{2}-x\rp$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \sin\lp \dfrac{\pi}{2}-x\rp$ \medskip $\bullet\ \cos\lp x+\pi\rp$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \sin\lp x+\pi\rp$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \cos\lp \pi-x\rp$ \hspace{0.5cm} $\bullet\ \sin\lp \pi-x\rp$ \enex \bgex \bgen \item \bgen[a)] \item Calculer $\dfrac\pi3-\dfrac\pi4$ et en déduire la valeur exacte de $\cos\lp\dfrac\pi{12}\rp$. \item Déterminer la valeur exacte de $\cos\lp\dfrac\pi{12}\rp$ en remarquant que $\dfrac\pi6=2\tm\dfrac\pi{12}$. \enen \item Exprimer $\dfrac{5\pi}{12}$ en fonction de $\dfrac\pi6$ et $\dfrac\pi4$. Déterminer alors les valeurs exactes de $\cos\lp\dfrac{5\pi}{12}\rp$ et $\sin\lp\dfrac{5\pi}{12}\rp$. \enen \enex \bgex \bgen \item $x$ est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la forme exponentielle de $\dsp \lp \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rp e^{ix}$. \vspace{-0.2cm} \item Utiliser la question précédente pour résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l'équation $\dsp \sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}$. \enen \enex \bgex \textbf{Factorisation par l'angle moitié.} \bgen[a)] \item Factoriser $e^2x$ dans la somme $e^x+e^{3x}$. \item Résoudre alors dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ l'équation: $\cos(x)+\cos(3x)=0$. \item Résoudre de la m\^eme fa\c con, dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$, l'équation: $\sin(2x)+\sin(6x)=0$. \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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