Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Bac de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques, 13 mars 2023},
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% Raccourcis diverses:
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Bac de mathématiques 13 mars 2023 - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-1em}
\ct{\bf\large{\sc Corrigé du baccalauréat général}}
\medskip
\ct{\bf\large{\sc \'Epreuve d'enseignement de spécialité -- Math\'ematiques --}}
\medskip
\ct{\textbf{13 mars 2023}}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 1} QCM\hfill 5 points}
\medskip
\textbf{Question 1 : réponse c.}.
On factorise par les termes prépondérants:
\[u_n = \dfrac{2^n\lp1 + \frac1{2^n}\rp}{5^n\lp3 + \frac1{5^n}\rp}
=\lp\dfrac25\rp^n\dfrac{1 + \frac1{2^n}}{3 + \frac1{5^n}}
\]
où
$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{2^n}=\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{5^n}=0$
et, comme $-1<\dfrac25<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac25\rp^n=0$,
d'où le résultat par produit et quotient des limites.
\medskip
\textbf{Question 2 : réponse b.}
On dérive un produit $f=uv$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=\ln x$ donc $v'(x)=\dfrac1x$, d'où
$f'=u'v+uv'$ donc
\[f'(x)=2x\ln x+x^2\tm\dfrac1x=x\lp2\ln x+1\rp\]
\medskip
\textbf{Question 3 : réponse a.}
Comme $H'=h$ et que $h<0$ sur $]-\infty;1]$, on en déduit que $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$. Comme de plus $H(0)=0$, on en déduit que $H$ est positive sur $]-\infty;0]$.
\medskip
\textbf{Question 4 : réponse a.}
Il s'agit de l'algorithme de recherche d'une solution approchée par dichotomie.
\medskip
\textbf{Question 5 : réponse d.}
On répète 3 fois l'expérience aléatoire: "tirer une boule".
Comme ces tirages sont avec remise, ils sont identiques et indépendants.
On peut noter $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès: "tirage d'une boule vertes" de probabilité $p=\dfrac3{10}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=3$ et $p$, et la probabilité recherchée est $P(X=2)$ donnée par la formule de la réponse \textbf{d.}
\bigskip
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill6 points}
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item $p_1=P(B_1)=0,9$.\\
Pour $p_2$, on peut représenter la situation par un arbre:
\[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2)
\rput[r](0,0){Bon état}
\psline(.2,.2)(1.5,1)\rput(1.75,1){$B_1$}
\rput(.8,.9){0,9}
\psline(.2,-.2)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{B_1}$}
\rput(.8,-1){0,1}
\psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$B_2$}
\rput(2.8,1.6){0,9}
\psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{B_2}$}
\rput(2.8,.3){0,1}
\psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{B_2}$}
\rput(2.8,-1.6){0,6}
\psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$B_2$}
\rput(2.8,-.4){0,4}
\end{pspicture}\]
D'après cet arbre, ou la formule des probabilités totales,
\[p_2=P(B_2)=0,9^2+0,1\tm0,4=0,85\]
\item
\[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2)
%\rput[r](0,0){Bon état}
\psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$B_n$}
\rput(.8,.9){$p_n$}
\psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{B_n}$}
\rput(.8,-1){$1-p_n$}
\psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$B_{n+1}$}
\rput(2.8,1.6){0,9}
\psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{B_{n+1}}$}
\rput(2.8,.3){0,1}
\psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{B_{n+1}}$}
\rput(2.8,-1.6){0,6}
\psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$B_{n+1}$}
\rput(2.8,-.4){0,4}
\end{pspicture}\]
\item D'après cet arbre, ou la formule des probabilités totales,
\[p_{n+1}=P(B_{n+1})=0,9p_n+0,4(1-p_n) = 0,5p_n + 0,4\]
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Soit, pour tout entier naturel $n$, $P(n): p_n \geqslant 0,8$
\textbf{Initialisation.} Pour $n=0$, on a $p_0=1\geqslant0,8$, et donc
$P(0)$ est vraie.
\textbf{Hérédité.} Supposons que $P(n)$ soit vraie pour un certain entier $n$,
c'est-à-dire $p_n\geqslant0,8$.
Alors, en multiplinat par $0,5>0$, on obtient $0,5p_n\geqslant0,5\tm0,8=0,4$, \\
puis en ajoutant 0,4 on obtient $0,5p_n+0,4\geqslant0,4+0,4=0,8$, \\
c'est-à-dire que $p_{n+1}\geqslant0,8$.
Ainsi, $P(n+1)$ est encore vraie.
\textbf{Conclusion.} On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que $P(n): p_n\geqslant0,8$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\item Ce résultat permet de dire que, à chaque début de semaine, au moins 80\% des trotinettes sont en bon état de marche.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour tout entier $n$, on a
\[u_{n+1}=p_{n+1}-0,8 = 0,5p_n+0,4-0,8
=0,5p_n-0,4\]
or $p_n=u_n+0,8$ =, et donc
\[u_{n+1}=0,5\lp u_n+0,8\rp-0,4=0,5u_n\]
Ainsi, la suite $\lp u_n\rp$ est géométrique de raison $q=0,5$
et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
\item On en déduit que, pour tout entier $n$,
$u_n=u_0q^n=0,2\tm0,5^n$.
On trouve alors que
\[p_n=u_n+0,8=0,2\tm0,5^n+0,8\]
\item Comme $-1<0,5<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,5^n=0$ et donc que
\[\lim_{n\to+\infty}p_n=0,8\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill6 points}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres ;
\item la probabilité qu'une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.
\end{itemize}
\smallskip
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.
Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.
\medskip
\begin{enumerate}
\item On répète $n=15$ fois l'expérience aléatoire (expérience de Bernoulli)
"prélever une trotinnette" dont le succès est "la trotinette est en bon état" de probabilité $p=0,8$.
Ces répétitions sont supposées identiques et indépendantes car le tirage peut \^etre assimilé à un tirage avec remise.
Enfin la variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès, c'est-à-dire au nombre de trotinettes en bon état dans ce lot de 15.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
\item La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état
est $P(X=15)=(1-p)^{15}\simeq0,035$
\item La probabilité qu'au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est, à l'aide de la calculatrice, $P(X\geqslant10)\simeq0,94$
\item L'espérance $E(X) = 12$ indique que, en moyenne sur un grand nombre de lots de 15 trotinettes, il y en a 12 en bon état.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
\vspace{-3em}
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE, trapèze rectangle en A.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\lp A~;~\vec{i}, \vec{j},\vec{k}\rp$ tel que:
\[\vec{i} = \dfrac14\vec{AB}, \quad \vec{j} = \dfrac14\vec{AD}, \quad \vec{k} = \dfrac18\vec{AE}.\]
De plus on a $\V{BF} = \V{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,8)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(5.7,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.2,7.3)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0.2,1.4)(4.2,3.2)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(4.2,3.2)(5.2,3.7)
\psline(2.6,0.8)(4.2,1.6)(4.2,4.2)(2.6,3.4)(2.6,0.8)%BCGFB
\psline(4.2,4.2)(1.8,7.3)(0.2,6.8)(2.6,3.4)%GHEF
\psline(0.2,4)(1.35,5.2)(4.2,4.2)%JIG
\psline(1.35,5.2)(1.8,7.3)%IH
\psline(2.6,0.8)(4.2,4.2)%FE
\psline[linestyle=dashed](4.2,1.6)(1.8,2.1)(1.8,7.3)%CDH
\psline[linestyle=dashed](1.8,7.3)(0.2,4)(4.2,4.2)%HJG
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.8,1.24)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.7,1.6)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.2,2.2)
\uput[dl](0.2,1.4){A} \uput[d](2.6,0.8){B} \uput[r](4.2,1.6){C} \uput[ul](1.8,2.1){D}
\uput[l](0.2,6.8){E} \uput[dl](2.6,3.4){F} \uput[r](4.2,4.2){G} \uput[u](1.8,7.3){H}
\uput[d](1.35,5.2){I} \uput[l](0.2,4){J} \uput[d](0.5,1.3){$\vec{i}$} \uput[ur](0.35,1.5){$\vec{j}$}
\uput[l](0.2,1.8){$\vec{k}$}
\end{pspicture}\]
\end{minipage}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item $I$ est le milieu de $[EF]$ avec $E(0;0;8)$ et $F(4;0;4)$
d'où $I(2;0;6)$.
On a directement aussi que $J(0;0;4)$.
\item Soit $\vec{n}(-1;1;1)$.
\begin{enumerate}[a)]
\item On a $G(4;4;4)$ et donc $\V{IG}(2;4;-2)$ et alors
$\vec{n}\cdot\V{IG}=-1\tm2+1\tm4+1\tm(-2)=0$.
De m\^eme, $\V{JG}(4;4;0)$ et donc
$\vec{n}\cdot\V{JG}=-1\tm4+1\tm4+1\tm0=0$.
Ainsi, $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$ et il est donc normal à ce plan.
\item D'après ce qui précède, une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ s'écrit sous la forme $-x+y+z+d=0$.
Or $J(0;0;4)$ appartient à ce plan, et donc
$-0+0+4+d=0\iff d=-4$, d'où une équation cartésienne de $(IGJ)$:
\[(IGJ): -x+y+z-4=0\]
\end{enumerate}
\item La droite $d$ perpendiculaire au plan $(IGJ)$ a donc pour vecteur directeur $\vec{n}$ et passant par $H(0;4;8)$ a pour représentation paramétrique
\[d:\la\bgar{lclcl}
x&=&&-&t\\
y&=&4&+&t\\
z&=&8&+&t
\enar\right., \ t\in\R\]
\item $L(x;y;z)$ est donc un point de la droite $d$ et du plan $(IGJ)$.
Ces coordonnées vérifient donc la représentation paramétrique de $d$ ainsi que l'équation cartésienne du plan $(IGJ)$, soit
$-x+y+z-4=0$, et donc avec les relations paramétriques
\[-(-t)+(4+t)+(8+t)-4=0\iff t=-\dfrac83\]
d'où les coordonnées de $L$, dans la représentation paramétrique de $d$:
\[L:\la\bgar{lclclcl}
x&=&&-&t&=&\dfrac83\\[.7em]
y&=&4&+&t&=&\dfrac43\\[.7em]
z&=&8&+&t&=&\dfrac{16}3
\enar\right.\]
\item Comme $L$ est le projeté orthogonal de $H$ sur le plan $(IGJ)$, on déduit que la distance de $H$ à ce plan est justement $LH$, soit
\[LH=\sqrt{\lp\dfrac83-0\rp^2+\lp\dfrac43-4\rp^2+\lp\dfrac{16}3-8\rp^2}
=\sqrt{\dfrac{3\tm8^2}9}=\dfrac8{\sqrt3}\]
\item On a $\V{IG}(2;4;-2)$ et $\V{IJ}(-2;0;-2)$ d'où
$\V{IG}\cdot\V{IJ}=2\tm(-2)+4\tm0+(-2)\tm(-2)=0$,
c'est-à-dire que $\V{IG}$ et $\V{IJ}$ sont orthogonaux, ou encore
que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
\item On peut calculer le volume du tétraèdre $IGJH$ en prenant le triangle $IGJ$ comme base et la hauteur $HL$ associée.
L'aire du triangle rectangle $IJG$ est
$\mathcal{A}_{IJG}=\dfrac{IJ\tm IG}2$
avec $IJ=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$
et $IG=\sqrt{2^2+4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$
Finalement, le volume est
\[V=\dfrac13\tm\dfrac{\sqrt2\tm\sqrt5}2\tm\dfrac8{\sqrt3}=\dfrac43\sqrt{\dfrac{10}3}\]
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill3points}
\medskip
Un biologiste a modélisé l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'entités) par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f(t) = \text{e}^3 - \text{e}^{-0,5t^2 + t + 2}\]
où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l'expérience.
\medskip
À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous.
Pour chacune d'elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
\medskip
$\bullet~~$\textbf{Affirmation 1 : Vrai.}
On étudie pour cela les variations de $f$.
On a $f=e^3-e^u$ avec $u(t)=-0,5t^2+t+2$ donc $u'(t)=-t+1$ et alors
$f'=0-u'e^u$, soit
\[f'(t)=te^{-0,5t^2+t+2}\]
Comme $e^{x}>0$ pour tout réel $x$, on a donc, pour $t\in[0;+\infty[$ que
$f'(t)\geqslant0$ et donc que $f$ est croissante, ce qui signifie, dans le contexte, que \og La population augmente en permanence \fg.
\bigskip
$\bullet~~$\textbf{Affirmation 2 : Faux.}
Il s'agit de déterminer la limite de $f$ lorsque $t\to+\infty$.
On a $-0,5t^2+t+2=-0,5t^2\lp1-\dfrac2t-\dfrac4{t^2}\rp$
où
$\dsp\lim_{t\to+\infty}\dfrac2t=\lim_{t\to+\infty}\dfrac4{t^2}=0$\\
et donc
$\dsp\lim_{t\to+\infty}-0,5t^2+t+2=-\infty$.
On en déduit, par composition des limites, que
$\dsp\lim_{t\to+\infty}e^{-0,5t^2+t+2}=0$,
et donc finalement que
$\dsp\lim_{t\to+\infty}f(t)=e^3$.
Or $e^3\simeq 20,08<21$.
On a vu précédemment que $f$ est croissante, et donc ici que $f$ tend vers $e^3<21$ milliers. En particulier, la population ne dépassera jamais 21000 bactéries.
\bigskip
$\bullet~~$\textbf{Affirmation 3 : Faux.}
La population de bactéries augmente strictement depuis $f(0)=e^3-e^2\simeq 12,7$ milliers.
Ainsi, la population de bactéries n'aura jamais un effectif de 10000.
\label{LastPage}
\end{document}
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