Source Latex
sujet du devoir
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{0em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
R\'esoudre les \'equations
$(E_1): e^{-2x+1}=3$ ,
$(E_2): \ln(x)+\ln(3x+2)=0$ et
$(E_3): 3^x=\pi$
\enex
\bgex
$(u_n)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $1,2$ et de premier terme $u_0=2$.
\bgen[a)]
\item Donner la limite de cette suite.
\item \`A partir de quel rang $n$ a-t-on $u_n\geq100$ ?
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=e^{0,1x}-2x$.
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
l'expression $f(x)=\ln(3x^2+3)$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Déterminer l'équation $T_1$ de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
\item \'Etudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées des points d'inflexion.
\item Montrer que, pour tout réel $x\geqslant1$, on a
$\ln\lp\dfrac{3x^2+3}6\rp\leqslant x-1$.
\item Tracer dans un repère la courbe $\mathcal{C}_f$, avec ses points d'inflexion et la tangente $T_1$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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