Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.5em}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$, on consid\`ere les points
$A(-2;2)$ et $B(4;1)$,
le vecteurs $\vec{u}(2;3)$,
et la droite $D$ d'\'equation $x+y+4=0$.
\bgen
\item Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$
de vecteur directeur $\vec{u}$ et qui passe par $A$.
\[\V{AM}=t\vec{u} \iff
\la\bgar{lcrcl}
x &=& -2 &+& 2t\\
y &=& 2 &+& 3t
\enar\right.,t\in\R\]
\item Une \'equation cart\'esienne de la droite de vecteur normal $\vec{u}$
s'écrit sous la forme
\[2x+3y+c=0\]
et comme elle passe par $B(4;1)$, on a aussi
$2\tm4+3\tm1+c=0\iff c=-11$, d'où l'équation cartésienne
\[2x+3y-11=0\]
\item On a $M(x;y)\in(AB)$ si et seulement si $\V{AM}$ et $\V{AB}$ colin\'eaires,
et donc, avec $\V{AB}(6;-1)$ et $\V{AM}(x+2;y-2)$, d'o\`u
\[\bgar{ll}M(x;y)\in(AB)&\iff 6(y-2)-(-1)(x+2)=0\\[.3em]
&\iff x+6y-10=0\enar\]
\item Un vecteur normal \`a $D$ est $\vec{n}(1;1)$
qui est aussi un vecteur normal de $d$ %$d_1$,
et donc
\[\bgar{ll}M(x;y)\in d_1&\iff \V{AM}\cdot\vec{n}_1=0\\[.3em]
&\iff1(x+2)+1(y-2)=0\\[.3em]
&\iff x+y=0\enar\]
%\item $\vec{n}(1;1)$ est maintenant un vecteur directeur de $d_2$,
% et $M(x;y)\in d_2$ si et seulement si $\V{BM}(x-4;y-1)$ et $\vec{n}$
% sont colin\'eaires,
% soit
% \[1(x-4)-1(y-1)=0\iff x-y-3=0\]
%\item On a
% \[I\in d_1\cap d_2\iff\la\bgar{ll}x+y=0\\x-y-3=0\enar\right.\]
% En ajoutant ces deux \'equations on obtient $2x-3=0$,
% soit $x=3/2$, puis avec la premi\`ere, $y=-3/2$.
%
% Finalement, on a obtenu $I\lp 3/2;-3/2\rp$.
\item On a
\[I\in D\cap (AB)\iff\la\bgar{ll}x+y+4=0\\x+6y-10=0\enar\right.\]
En soustrayant ces deux \'equations on obtient $-5y+14=0$,
soit $y=14/5$, puis avec la premi\`ere, $x=-4-y=-34/5$.
Finalement, on a obtenu $I\lp-\dfrac{34}{5};\dfrac{14}5\rp$.
\item Le centre du cercle est le milieu de $[AB]$, soit
$C(1;3/2)$,
et le rayon du cercle est
\[R=\dfrac12AB=\dfrac12\sqrt{6^2+(-1)^2}=\dfrac{\sqrt{37}}2\]
et donc $M(x;y)$ appartient au cercle si et seulement si
\[CM=R
\iff CM^2=R^2
\iff (x-1)^2+\lp y-\frac32\rp^2=\dfrac{37}2\]
qui est donc l'équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item En $+\infty$, on a
$\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ et donc, par addition de limites,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
\medskip
En $-\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to-\infty}-x=+\infty$,
donc par addition de limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.
\item On a $f(x)=e^{-x}-x$, soit $f=e^u-x$ et donc $f'=u'e^u-1$, soit
$f'(x)=-e^{-x}-1$.
Comme, pouir tout réel $x$, on a $e^{-x}>0$, on a donc
$-e^{-x}<0$ et donc $f'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$.
On finalement alors le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\\\hline
&$+\infty$&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$-\infty$\\
\hline\end{tabular}\]
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item
\[\psset{arrowsize=7pt,unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(4.8,3.6)
\psline{->}(-.4,0)(4.8,0)
\psline{->}(0,-.4)(0,3.5)
\rput(-.1,-.1){$O$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{.19}{5.2}{1 x div}
\multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.05)(\i,-.05)\rput(\i,-.2){\i}}
\multido{\i=1+1}{5}{\psline(.05,\i)(-.05,\i)\rput[r](-.15,\i){\i}}
\rput(2,0){$\tm$}\rput(2.1,.15){$A$}
\rput(2,.5){$\tm$}\rput(2.1,.65){$M$}
\rput(0,.5){$\tm$}\rput(-.1,.65){$N$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,.5)(0,.5)
\psplot{-.4}{4.8}{-.25 x mul 1 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(0,.5)
\rput(2,0){$\tm$}\rput(4,.15){$P$}
\rput(2,.5){$\tm$}\rput(.12,1.05){$Q$}
\rput(-.3,1.16){$d$}
\end{pspicture*}\]
\item La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Ici, avec $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$, on a donc l'équation
\[y=-\dfrac1{a^2}(x-a)+\dfrac1a = -\dfrac1{a^2}x+\dfrac2a\]
\item L'intersection de $d$ avec l'axe des abscisses est le point $P(x,0)$ tel que
\[y=-\dfrac1{a^2}x+\dfrac2a=0\iff x=2a\]
et $d$ coupe l'axe des ordonnées au point $Q(0,y)$ tel que
\[y=-\dfrac1{a^2}\tm0+\dfrac2a=\dfrac2a\]
On a donc les points $P(2a,0)$ et $Q\lp0,\frac2a\rp$.
\item L'aire du triangle $OAN$, rectangle en $O$, est
\[\mathcal{A}_{OAN}=\dfrac{OA\tm ON}2=\dfrac{a\tm\dfrac1a}2=\dfrac12\]
et l'aire du triangle $OPQ$, rectangle en $O$, est
\[\mathcal{A}_{OPQ}=\dfrac{OP\tm OQ}2=\dfrac{2a\tm\dfrac2a}2=2\]
et ces aires ne dépendent donc pas de $a$.
Enfin, on a bien
\[\mathcal{A}_{OPQ} = 4\tm\mathcal{A}_{OAN}\]
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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