Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Exponentielle - Géométrie - Tangentes
Terminale générale, spécialité mathématiques
Exponentielle - Géométrie - Tangentes
Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
- File type: Latex, tex (source)
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- Description
- Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente
- Niveau
- Terminale générale, spécialité mathématiques
- Table des matières
- Équations de droites: parallèle, perpendiculaires, ...
- Étude d'une fonction avec une exponentielle: limites et sens de variation
- Géométrie avec la courbe représentative de la fonction inverse: tangentes et aires de triangles
- Mots clé
- géométrie plane, géométrie analytique du plan, équations de droite, équations cartésienne, exponentielle, tangente, spécialité mathématiques, terminale générale
- Sujet du devoir
- Voir aussi:
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence}, pdftitle={Devoir de mathématiques}, pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{ \protect\vspace*{\fill}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1cm \textheight=26.3cm \textwidth=18.5cm \topmargin=0cm \headheight=-0.2cm \footskip=1.cm \oddsidemargin=-1.cm \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}} \cfoot{} \rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-2.5em} \ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}} \bgex Dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on consid\`ere les points $A(-2;2)$ et $B(4;1)$, le vecteurs $\vec{u}(2;3)$, et la droite $D$ d'\'equation $x+y+4=0$. \bgen \item Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et qui passe par $A$. \[\V{AM}=t\vec{u} \iff \la\bgar{lcrcl} x &=& -2 &+& 2t\\ y &=& 2 &+& 3t \enar\right.,t\in\R\] \item Une \'equation cart\'esienne de la droite de vecteur normal $\vec{u}$ s'écrit sous la forme \[2x+3y+c=0\] et comme elle passe par $B(4;1)$, on a aussi $2\tm4+3\tm1+c=0\iff c=-11$, d'où l'équation cartésienne \[2x+3y-11=0\] \item On a $M(x;y)\in(AB)$ si et seulement si $\V{AM}$ et $\V{AB}$ colin\'eaires, et donc, avec $\V{AB}(6;-1)$ et $\V{AM}(x+2;y-2)$, d'o\`u \[\bgar{ll}M(x;y)\in(AB)&\iff 6(y-2)-(-1)(x+2)=0\\[.3em] &\iff x+6y-10=0\enar\] \item Un vecteur normal \`a $D$ est $\vec{n}(1;1)$ qui est aussi un vecteur normal de $d$ %$d_1$, et donc \[\bgar{ll}M(x;y)\in d_1&\iff \V{AM}\cdot\vec{n}_1=0\\[.3em] &\iff1(x+2)+1(y-2)=0\\[.3em] &\iff x+y=0\enar\] %\item $\vec{n}(1;1)$ est maintenant un vecteur directeur de $d_2$, % et $M(x;y)\in d_2$ si et seulement si $\V{BM}(x-4;y-1)$ et $\vec{n}$ % sont colin\'eaires, % soit % \[1(x-4)-1(y-1)=0\iff x-y-3=0\] %\item On a % \[I\in d_1\cap d_2\iff\la\bgar{ll}x+y=0\\x-y-3=0\enar\right.\] % En ajoutant ces deux \'equations on obtient $2x-3=0$, % soit $x=3/2$, puis avec la premi\`ere, $y=-3/2$. % % Finalement, on a obtenu $I\lp 3/2;-3/2\rp$. \item On a \[I\in D\cap (AB)\iff\la\bgar{ll}x+y+4=0\\x+6y-10=0\enar\right.\] En soustrayant ces deux \'equations on obtient $-5y+14=0$, soit $y=14/5$, puis avec la premi\`ere, $x=-4-y=-34/5$. Finalement, on a obtenu $I\lp-\dfrac{34}{5};\dfrac{14}5\rp$. \item Le centre du cercle est le milieu de $[AB]$, soit $C(1;3/2)$, et le rayon du cercle est \[R=\dfrac12AB=\dfrac12\sqrt{6^2+(-1)^2}=\dfrac{\sqrt{37}}2\] et donc $M(x;y)$ appartient au cercle si et seulement si \[CM=R \iff CM^2=R^2 \iff (x-1)^2+\lp y-\frac32\rp^2=\dfrac{37}2\] qui est donc l'équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$. \enen \enex \bgex \bgen[a)] \item En $+\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ et donc, par addition de limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$. \medskip En $-\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to-\infty}-x=+\infty$, donc par addition de limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. \item On a $f(x)=e^{-x}-x$, soit $f=e^u-x$ et donc $f'=u'e^u-1$, soit $f'(x)=-e^{-x}-1$. Comme, pouir tout réel $x$, on a $e^{-x}>0$, on a donc $-e^{-x}<0$ et donc $f'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$. On finalement alors le tableau de variation: \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &\\\hline &$+\infty$&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&$-\infty$\\ \hline\end{tabular}\] \enen \enex \bgex \bgen[a)] \item \[\psset{arrowsize=7pt,unit=3cm} \begin{pspicture*}(-.5,-.5)(4.8,3.6) \psline{->}(-.4,0)(4.8,0) \psline{->}(0,-.4)(0,3.5) \rput(-.1,-.1){$O$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{.19}{5.2}{1 x div} \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.05)(\i,-.05)\rput(\i,-.2){\i}} \multido{\i=1+1}{5}{\psline(.05,\i)(-.05,\i)\rput[r](-.15,\i){\i}} \rput(2,0){$\tm$}\rput(2.1,.15){$A$} \rput(2,.5){$\tm$}\rput(2.1,.65){$M$} \rput(0,.5){$\tm$}\rput(-.1,.65){$N$} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,.5)(0,.5) \psplot{-.4}{4.8}{-.25 x mul 1 add} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(0,.5) \rput(2,0){$\tm$}\rput(4,.15){$P$} \rput(2,.5){$\tm$}\rput(.12,1.05){$Q$} \rput(-.3,1.16){$d$} \end{pspicture*}\] \item La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Ici, avec $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$, on a donc l'équation \[y=-\dfrac1{a^2}(x-a)+\dfrac1a = -\dfrac1{a^2}x+\dfrac2a\] \item L'intersection de $d$ avec l'axe des abscisses est le point $P(x,0)$ tel que \[y=-\dfrac1{a^2}x+\dfrac2a=0\iff x=2a\] et $d$ coupe l'axe des ordonnées au point $Q(0,y)$ tel que \[y=-\dfrac1{a^2}\tm0+\dfrac2a=\dfrac2a\] On a donc les points $P(2a,0)$ et $Q\lp0,\frac2a\rp$. \item L'aire du triangle $OAN$, rectangle en $O$, est \[\mathcal{A}_{OAN}=\dfrac{OA\tm ON}2=\dfrac{a\tm\dfrac1a}2=\dfrac12\] et l'aire du triangle $OPQ$, rectangle en $O$, est \[\mathcal{A}_{OPQ}=\dfrac{OP\tm OQ}2=\dfrac{2a\tm\dfrac2a}2=2\] et ces aires ne dépendent donc pas de $a$. Enfin, on a bien \[\mathcal{A}_{OPQ} = 4\tm\mathcal{A}_{OAN}\] \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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