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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: suite, récurrence et python},
pdftitle={Suites et récurrence},
pdfkeywords={Mathématiques, suites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
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\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de mathématiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{}%Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE\textbf{\TITLE}}
\hfill
\bgmp{2.5cm}
\scriptsize Terminale générale\\
Spécialité maths
\enmp
\medskip
\bgex
Déterminer les limites des suites suivantes: \\[.5em]
$u_n=2n^2+n-\dfrac{3}{n-1}$ \ ; \
$v_n=-3n^2+2n+1$ \ ; \
$w_n=\dfrac{n+3}{3n-5}$
\enex
\bgex
On consid\`ere la suite $\lp u_n\rp$ d\'efinie par:
$u_0=0$ et, pour tout entier naturel,
$u_{n+1}=2+3u_n$.
D\'emontrer que, pour tout entier naturel $n$,
$u_n=3^n-1$.
\enex
\bgex
On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par son premier terme
$u_0=\dfrac12$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.\\
On pose de plus, pour tout entier naturel $n$,
$v_n=u_n-3$.
\bgen
\item
Montrer que $(v_n)$ est une suite g\'eom\'etrique,
dont on pr\'ecisera le premier terme et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$
puis $u_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enex
%\vspace{-1em}
\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{5x+6}{x + 2}.\]
On a trac\'e ci-dessous, dans un rep\`ere orthonorm\'e, la courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de $f$.
\medskip
\bgen
\item D\'emontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item R\'esoudre l'\'equation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution.
On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ pr\`es.
\item On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ d\'efinie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Sur la figure ci-dessous, placer les points $M_0$, $M_1$ et $M_2$ d'ordonn\'ee nulle et d'abscisses respectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\lp u_n\rp$ ?
\item D\'emontrer, par r\'ecurrence, que, pour tout entier naturel $n$,
\[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\]
\[\psset{unit=1.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
%\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\]
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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