Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: convexité - position relative},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={convexité, position relative, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.5cm}
\setcounter{nex}{0}
\hfill{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}\hfill\fbox{B}
\vspace*{.5cm}
\bigskip
\bgex \textit{QCM - Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 7 juin 2021}
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables,
le dénominateur étant non nul sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, avec
\[f'(x) = \dfrac{2e^{2x} \tm x - 1 \tm e^{2x}}{x^2}
= \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}\]
\textbf{Réponse c.}
\item Comme sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, \, $x^2 > 0$ et $e^{2x} > 0$,
le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 1$,
soit $f'(x)>0 \iff 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac12$ ;
et donc $f'(x) < 0 \iff x < \dfrac{1}{2}$ et $f$ est décroissante sur
$\left]0~;~\frac12\right[$ ;
et par ailleurs $f'(x) > 0 \iff x > \dfrac12$
et $f$ est croissante sur $\left]\frac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ ;
On a donc que $f$ admet un minimum en $\dfrac12$.
\textbf{Réponse c.}
\item On a, en posant $X=2x$,
$f(x) = 2 \tm\dfrac{e^{2x}}{2x}=2\dfrac{e^X}{X}$,et alors
par croissances comparées,
\[\lim_{x \to + \infty}f(x)=\lim_{X \to + \infty}2\dfrac{e^X}{X}=+\infty\]
\textbf{Réponse a.}
\item Sur $]0~;~+\infty[$, \, $x^3 > 0$ et $2e^{2x} > 0$,
donc le signe de $f''(x)$ est celui du trinôme $2x^2 - 2x + 1$.
Le discriminant de ce trin\^ome est
$\Delta=-4<0$; il n'admet donc aucune racine,
et il est de signe constant, ici positif, sur $\R$.
On en déduit que $f''(x)\geqslant0$ sur $]0 ; +\infty[$,
et donc que la fonction y est convexe.
\textbf{Réponse b}.
\item \textbf{Réponse a}.
\end{enumerate}
\enex
%\clearpage
\bigskip
\bgex \textit{Baccalauréat, terminale générale spécialité mathématiques, 15 mars 2021}
%\textbf{La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.}
%\medskip
\begin{enumerate}
\item
\bgen[a)]
\item Les abscisses des points d'intersection de
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les points d'abscisses $x$
solutions de l'équation $f(x)=g(x)$,
soit
\[f(x)=g(x) \iff x^2e^{-x}=e^{-x}\iff (x^2-1)e^{-x}=0\]
Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ donc en particulier $e^{-x}\neq 0$,
et alors
\[f(x)=g(x) \iff x^2-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1\]
Pour $x=-1$, $g(x)=e$, et pour $x=1$, $g(x)=e^{-1}$.
Les coordonnées des points d'intersection sont donc
$\lp-1~;~e\rp$ et $\lp1~;~e^{-1}\rp$.
\item \'Etudier la position relative de
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, revient à étudier le signe de
la différence $\varphi$ définie par
\[\varphi(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)e^{-x}\]
soit
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
\begin{array}{|c | *7{c} |}
\hline
x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\\hline
x^2-1 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\\hline
e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\\hline
(x^2-1)e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\end{array}\]
Donc sur les intervalles $]-\infty~;~-1[$ et $]1~;~+\infty[$,
la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$,
et sur l'intervalle $]-1~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous
de la courbe $\mathcal{C}_g$,
\enen
\item
\bgen[a)]
\item On a $d(x)=(1-x^2)e^{-x}$, soit $d=uv$
avec $u(x)=1-x^2$ donc $u'(x)=-2x$,
et $v(x)=e^{-x}$ soit $v=e^w$ donc $v'=w'e^w$ et donc
$v'(x)=-e^{-x}$.
On a alors $d'=u'v+uv'$, soit
\[\bgar{ll}d'(x)&=-2xe^{-x}+\lp1-x^2\rp\lp-e^{-x}\rp\\
&=e^{-x}\lp-2x-1+x^2\rp
\enar\]
\item Dans la dérivée précédente, on a $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$,
et le trin\^ome du second degré a pour discriminant
$\Delta=(-2)^2+4=8>0$ et admet donc deux racines
$x_1=\dfrac{2-\sqrt8}2=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$.
On a alors
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{0cm}}
\begin{array}{|c | *{11}{c} |} \hline
x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1-\sqrt{2} & \esp & 1 & \esp & 1+\sqrt{2} & \esp & +\infty \\\hline
e^{-x} & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &\\\hline
x^2-2x-1& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline
d'(x)& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline
&&&&&&&&&&&\\
$d$&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.8)(1.4,-.3)&&&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&\\
&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{array}\]
\bgit
\item Sur l'intervalle $\left [-1~;~1 - \sqrt{2}\right [$, $d'(x)>0$ donc $d$ est strictement croissante.
\item Sur l'intervalle $\left ]1-\sqrt{2}~;~1\right ]$, $d'(x)<0$ donc $d$ est strictement décroissante.
\enit
\item D'après la question précédente, la distance $d(x)$ est maximale
pour $x_0= 1-\sqrt{2}$, et vaut alors
$d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$
\enen
\item On étudie la fonction $h$. \\
La fonction $h$ est dérivable, donc continue ssur $\R$, avec
$h'(x)=-e^{-x}-1$ donc, comme $e^{-x}>0\iff-e^{-x}<0$,
et donc $h'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$ et la fonction $h$ est
donc strictement décroissante sur $\R$.
\bgit
\item $h(-1)=e^{1}+1-2= e-1>0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)>0$ pour $x<-1$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$.
\item $h(0)=e^{0}-2 = -1 <0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)<0$ pour $x>0$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et on sait que $h(-1)>0$ et $h(0)<0$; donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection,
l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique.
\enit
La droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}_g$ ont donc un unique point d'intersection dont l'abscisse est comprise entre $-1$ et $0$.
\enen
\enex
\clearpage
\bgex \textit{Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021}
\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}
\begin{enumerate}
\item
\begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:}
\item la fonction $f'$ est positive sur $]-\infty~;~1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
\item la fonction $f'$ est négative sur $]1~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.
\end{list}
\item
\begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:}
\item la fonction $f'$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle;
\item la fonction $f'$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
\end{list}
\end{enumerate}
\medskip
\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}
\smallskip
On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1
est définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 2)e^{-x}.$
\medskip
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$,
$f(x) = (x + 2)e^{-x}=xe^{-x}+2e^{-x}= \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.
Par croissances comparées on a:
$\dsp\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{e^{x}}{x}= +\infty$
donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{x}}= 0$.
De plus $\dsp\lim_{x \to + \infty}e^{-x}= 0$
donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$,
c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item $f'(x)=1\tm e^{-x} + (x+2)\tm (-1)e^{-x} = (1-x-2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}$.
\item Pour tout $x$, $e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$;
donc $f'(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$.
$f(-1) = (-1+2)e^{1}=e$;
on établit le tableau de variations de $f$ sur $\R$:
\[
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=1pt,arrowsize=5pt 3}
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}
\def\hauteur{0pt}
\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & -\infty & \esp & -1 & \esp & +\infty \\
\hline
-x-1 & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\
\hline
f'(x) & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\
\hline
& & & \Rnode{max}{e} & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
& \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min1}{max}
\ncline{->}{max}{min2}
\\
\hline
\end{array}
}
\]
\item Sur l'intervalle $[-2~;~-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante
et continue car dérivable sur cetintervalle. $f(-2)=0<2$ et $f(-1)=e>2$ donc,
d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
(ou théorème de la bijection),
l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique sur l'intervalle $[-2~;~-1]$.
Avec la calculatrice, on trouve $\alpha\simeq-1,6$.
\end{enumerate}
\item% Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$.
$f''(x)=(-1)\tm e^{-x} + (-x-1)\tm(-1)e^{-x} = (-1+x+1)e^{-x}=x e^{-x}$
$e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $f''(x)$ est du signe de $x$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur $]-\infty~;~0[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave.
\item Sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe.
\item En $x=0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ est le point d'inflexion de cette courbe.
\end{list}
%Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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