Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

Terminale générale, spécialité mathématiques

Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: calcul algébrique, suites et fonctions
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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: calcul algébrique, suites et fonctions
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Bac S 2010 (métropole): équation différentielle avec exponentielle dans le second membre
  • Bac S 2008 (métropole): changement de fonction dans une équation différentielle
  • Bac S 2009 (Antilles-Guyane): température de refroidissement d'un objet
Mots clé
équation différentielle, exponentielle, limite, spécialité mathématiques, terminale générale

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    \documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
    
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        pdfauthor={Yoann Morel},
        pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: équations différentielles},
        pdftitle={Devoir de mathématiques},
        pdfkeywords={équations différentielles, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
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    % Raccourcis diverses:
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    \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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    \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
    
    \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
    \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
    \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
    
    \nwc{\ul}{\underline}
    \nwc{\tm}{\times}
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    \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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    \newcommand{\ct}{\centerline}
    
    \nwc{\bgsk}{\bigskip}
    \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
    \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
    \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
    \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
    
    \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
    \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
    \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
    \def\C{{\rm C\kern-4.7pt
    \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
    \def\Q{\mathbb{Q}}
    \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
    \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
    
    \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
    \newenvironment{EX}{%
    \stepcounter{nex}
    \bgsk{\hspace*{-1em}{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
    }{}
    \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
    
    \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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    \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
    \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
    	\protect\vspace*{\fill}}
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    \lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
    \cfoot{}
    \rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{document}
    %\pagestyle{empty}
    \vspace*{-2em}
    
    \ct{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}
    
    \vspace{1em}
    \bgex %D'après Bac S, métropole, 22 juin 2010
    On considère l'équation différentielle 
    $(E): y'+y=e^{-x}$. 
    
    \bgen
    \item Montrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par 
    $u(x)=xe^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle~$(E)$. 
    \item On considère l'équation différentielle $(E'): y'+y=0$. 
      Résoudre l'équation différentielle $(E')$. 
    \item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
    \item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ 
      telle que $g(0)=2$. 
    \enen
    \enex
    
    \bigskip
    \bgex %D'après Bac S, métropole, septembre 2008
    On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0;+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle
    \[(E): \quad xy'(x)-(2x+1)y(x)=8x^2\]
    \bgen
    \item 
      Démontrer qu'une fonction $g$ est solution 
      de $(E'): y'=2y+8$ si et seulement si 
      la fonction $f$ définie par $f(x)=xg(x)$ est soluton de $(E)$. 
    \item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$. 
    %\item Existe-t-il une fonction solution de l'équation différentielle 
    %  $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère passe par le 
    %  point $A\lp\ln2;0\rp$ ? Si oui, la préciser. 
    \enen
    \enex
    
    \bigskip
    \bgex %D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
    La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement 
    est une fonction $f$ du temps $t$.\\
    $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie 
    l'équation différentielle:
    \[y'(t)+\dfrac12y(t)=10\]
    La température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ$C) 
    et le temps $t$ en heures. 
    \bgen
    \item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant0$, sachant que pour $t=0$, 
      la température de l'objet est 220\,$^\circ$C. 
    \item Pour la suite, on prendra comme fonction $f$, 
      la fonction suivante définie sur $\R^+$ par 
      \[f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20\]
      On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. 
      \bgen[a)]
      \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$. 
      \item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \\
        En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$ 
        à al courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$. 
      \item Représenter graphiquement $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$. 
      \enen
    \item Déterminer le moment où la température de l'objet est 50\,$^\circ$C. \\
      Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes. 
    \enen
    
    \enex
    
    
    \label{LastPage}
    \end{document}
    

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