Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: équations différentielles},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={équations différentielles, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\vspace*{-2em}
\ct{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}
\vspace{1em}
\bgex %D'après Bac S, métropole, 22 juin 2010
On considère l'équation différentielle
$(E): y'+y=e^{-x}$.
\bgen
\item Montrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par
$u(x)=xe^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle~$(E)$.
\item On considère l'équation différentielle $(E'): y'+y=0$.
Résoudre l'équation différentielle $(E')$.
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$
telle que $g(0)=2$.
\enen
\enex
\bigskip
\bgex %D'après Bac S, métropole, septembre 2008
On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0;+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle
\[(E): \quad xy'(x)-(2x+1)y(x)=8x^2\]
\bgen
\item
Démontrer qu'une fonction $g$ est solution
de $(E'): y'=2y+8$ si et seulement si
la fonction $f$ définie par $f(x)=xg(x)$ est soluton de $(E)$.
\item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$.
%\item Existe-t-il une fonction solution de l'équation différentielle
% $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère passe par le
% point $A\lp\ln2;0\rp$ ? Si oui, la préciser.
\enen
\enex
\bigskip
\bgex %D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement
est une fonction $f$ du temps $t$.\\
$f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie
l'équation différentielle:
\[y'(t)+\dfrac12y(t)=10\]
La température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ$C)
et le temps $t$ en heures.
\bgen
\item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant0$, sachant que pour $t=0$,
la température de l'objet est 220\,$^\circ$C.
\item Pour la suite, on prendra comme fonction $f$,
la fonction suivante définie sur $\R^+$ par
\[f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
\bgen[a)]
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
\item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \\
En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$
à al courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
\item Représenter graphiquement $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.
\enen
\item Déterminer le moment où la température de l'objet est 50\,$^\circ$C. \\
Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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