Oral du bac: convexité, exponentielle - Suite récurrente

exponentielle et convexité, suites

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Suite récurrente avec suite auxiliaire

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
  1. Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.

Correction exercice 1
  1. Pour tout nombre entier naturel $n$, $\displaystyle v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{3}u_{n+1}-2 =\frac{1}{3}\left( u_{n+1}-6\rp=\frac{1}{3}v_n$.

    On en déduit que $(v_n)$ est géométrique de raison $\displaystyle q=\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-6=-5$.
  2. D'après la question précédente, pour tout entier $n$, $\displaystyle v_n=v_0q^n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n$, et donc que, pour tout entier n ,  $\displaystyle u_n=v_n+6=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6$.
  3. Comme $\displaystyle 0<\frac{1}{3}<1$, $\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp\frac{1}{3}\rp^n=0$, et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty} (u_n)=6$.



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Exercice 2: Variations et courbe d'une fonction avec une exponentielle, convexité

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)e^x$.
  1. Étudier les variations de $f$.
  2. Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
  3. Étudier la convexité de $f$ et préciser les éventuels points d'inflexion.

Correction exercice 2
  1. On a un produit $f=uv$ avec $u(x)=1+x$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$.
    Ainsi, $f'=u'v+uv'$, soit $f'(x)=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x$.
    Le sens de variation est alors donné par le signe de la dérivée.
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-2$&&$+\infty$\\\hline $2+x$&&$-$&\zb&$+$&\\\hline $e^{x}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline &&&&&\\ $F$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-e^{-2}$&&\\\hline \end{tabular}\]


  2. \[\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-5,-1)(5,3) \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-1)(0,3) \psplot{-5}{5}{1 x add 2.718 x exp mul} \psline(-2,-.05)(-2,.05)\rput(-2,.1){$-2$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput[r](-.2,1){$1$} \end{pspicture*}\]

  3. La convexité est donnée par le signe de la dérivée seconde. On dérive donc $f'$.
    On a $f et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-3$&&$+\infty$\\\hline $3+x$&&$-$&\zb&$+$&\\\hline $e^{x}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f

    Ainsi, $f$ est concave sur $]-\infty;-3]$, tandis qu'elle est convexe sur $[-3;+\infty[$.
    Enfin, le point d'abscisse $-3$ est le seul point d'inflexion de la courbe de $f$.



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Voir aussi:
ccc