Oral du bac: convexité, exponentielle - Géométrie dans l'espace

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  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Etude d'une fonction avec exponentielle, dérivée seconde, tangente et convexité

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=x+1+e^{-x}$.
  1. Déterminer l'expression des dérivées première et seconde, $f'$ et $f, de $f$.
  2. Étudier les variations de $f$.
  3. Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=0$.
  4. Étudier la convexité de $f$. La courbe de $f$ possède-t-elle des points d'inflexion ?

Correction exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=x+1+e^{-x}$.

  1. \[f'(x)=1-e^{-x}\]


    \[f

  2. Le sens de variation de $f$ est donné par le signe de sa dérivée $f'$.
    Ici, on a
    \[\begin{array}{ll}f'(x)>0&\iff 1-e^{-x}>0\\ &\iff e^{-x}<1\\ &\iff -x<\ln(1)=0\\ &\iff x>0\enar\]

    et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&0&&$+\infty$\\\hline $f'(x)$&&$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&2&&\\\hline \end{tabular}\]


  3. En $x=0$, on a vu que $f'(0)=0$, ce qui signifie que la tangente en ce point est horizontale, et a donc pour équation $y=2$.
    Remarque: on peut bien sûr aussi utiliser la formule générale de l'quation de la tangente au point d'abscisse $a$, à savoir $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
  4. Comme pour tout réel $x$, on a $f0$">, on en déduit que $f$ est convexe sur $\R$. En particulier, $f$ n'admet aucun point d'inflexion.



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Exercice 2: Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni du repère orthonormal $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ on considère le plan $P$ d'équation $x+y+z-3=0$ ainsi que le point $M(2;-3;1)$.
  1. Le point $M$ est-il dans le plan $P$ ?
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par $M$ et orthogonale à $P$.
  3. Déterminer les coordonnées du point $H$ intersection de $D$ et $P$.
  4. En déduire la distance du point $M$ au plan $P$.

Correction exercice 2
  1. $x_M + y_M + z_M - 3 = 2 - 3 + 1 - 3 = -3 \not= 0$ donc $M\notin P$.
  2. $\vec{n} (1; 1; 1)$ est un vecteur normal de $P$, la droite $D$ passant par $M$ et orthogonale à $P$ admet donc comme représentatation paramétrique: $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.$
  3. Comme $H\in D$, il existe un réel $t$ tel que $H$ ait pour coordonnées $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.$ Comme de plus $H\in P$, ses coordonnées vérifient l'équation de $P$ donc $x + y + z - 3 =2+t-3+t+1+t-3 = 0$, soit $3t - 3 = 0$ et donc $t = 1$.
    On a ainsi $H(3; -2; 2)$.
  4. La distance du point $M$ au plan $P$ est $HM$. Comme $\overrightarrow{HM} (-1; -1; -1)$, on a donc $HM = \sqrt{3}$.



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Voir aussi:
ccc