Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques en Terminale générale, spécialité mathématiques


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Type: Corrigé de devoir
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Description
Oral de rattrapage en mathématiques au baccalauréat général
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Géométrie dans l'espace
  • Suite récurrente et suite intermédiaire géométrique avec un logarithme
Mots clé
bac, baccalauréat, oral de rattrapage, oral du second groupe,
Voir aussi:

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Source Latex de la correction du devoir

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{enumerate}
\usepackage{calc}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Oral de mathématiques terminale générale spécialité mathématiques: convexité, géométrie dans l'espace, fonction exponentielle},
    pdftitle={Corrigé de l'oral de rattrapage de mathématiques},
    pdfkeywords={convexité, exponentielle, géométrie dans l'espace, limite, dérivée, étude de fonction, distance du point à un plan, représentation paramétrique}
}
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    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
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    filecolor = red,
    urlcolor = red
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
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\voffset=-1cm
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Oral-rattrapage-Bac/}{xymaths - Terminale, spécialité maths}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction de l'oral de rattrapage - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e}}


\bgex
  \bgen[a)]
  \item Par lecture graphique, $I\lp\frac12;0;1\rp$ et $J\lp2;0;1\rp$. 
  \item On en d\'eduit $\V{DJ}\lp2;-1;1\rp$, 
    $\V{BI}\lp-\frac12;0;1\rp$ 
    et 
    $\V{BG}\lp0;1;1\rp$. 
  \item $\V{DJ}$ est normal au plan $(BGI)$ si et seulement si il est orthogonal \`a deux vecteurs non colin\'eaires du plan, par exemple 
    $\V{BG}$ et $\V{BI}$, ce qui est bien le cas car: 
    \[\V{DJ}\cdot\V{BG}=2\tm0+(-1)\tm1+1\tm1=0\]
    et 
    \[\V{DJ}\cdot\V{BI}=2\tm\lp-\dfrac12\rp+(-1)\tm0+1\tm1=0\]
    
  \item Un vecteur normal au plan $(BGI)$ est donc $\V{DJ}(2;-1;1)$ 
    et donc ce plan a une \'equation cart\'esienne de la forme 
    $2x-y+z+d=0$. 

    De plus $B(1;0;0)$ appartient \`a ce plan, d'o\`u 
    $2\tm1-0+0+d=0\iff d=-2$. 

    Une \'equation cart\'esienne du plan $(BGI)$ est donc bien 
    $2x-y+z-2=0$. 

  \enen
\enex



\bgex
\bgen[a)]
\item On a $u_1=\sqrt{10u_0}=\sqrt{20}=2\sqrt5$
  et $u_2=\sqrt{10u_1}=\sqrt{10\tm2\sqrt5}=2\sqrt{5\sqrt5}$. \\
  Ensuite, 
  \[\bgar{ll}
  v_0&=\ln(u_0)-\ln(10)=\ln(2)-\ln(10)
  =\ln\lp\dfrac2{10}\rp=\ln\lp\dfrac15\rp=-\ln(5)
  \\
  v_1&=\ln(u_1)-\ln(10)=\ln\lp\sqrt{20}\rp-\ln(10)\\[.4em]
  &=\dfrac12\ln(20)-\ln(10)
  =\dfrac12\ln(2\tm10)-\ln(10)\\[.6em]
  &=\dfrac12\lp\ln(2)+\ln(10)\rp-\ln(10)\\[.6em]
  &=\dfrac12\ln(2)-\dfrac12\ln(10)
  =\dfrac12\ln\lp\dfrac2{10}\rp
  =\dfrac12v_0\enar\]
\item 
  \[\bgar{ll} 
  v_{n+1}&=\ln\lp u_{n+1}\rp-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\ln\lp \sqrt{10u_n}\rp-\ln(10)
  =\dfrac12\ln(10u_n)-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\dfrac12\Bigl(\ln(10)+\ln\lp u_n\rp\Bigr)-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\dfrac12\ln\lp u_n\rp-\dfrac12\ln(10)  \\[0.4cm]
  &=\dfrac12\lp\ln\lp u_n\rp-\ln(10)\rp=\dfrac12 v_n
  \enar\]
  Ainsi, la $\lp v_n\rp$ est g\'eom\'etrique de raison $\dfrac12$. 

\item On en d\'eduit que, pour tout entier $n$, 
  $v_n=\lp\dfrac12\rp^n v_0=-\dfrac{\ln(5)}{2^n}$ \\
  et donc, que 
  $v_n=\ln\lp u_n\rp-\ln(10)=\ln\lp\dfrac{u_n}{10}\rp
  \iff u_n=10e^{v_n}$. 
\item Comme $\lp v_n\rp$ est une suite g\'eom\'etrique de raison
  $-1<q=\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0$, et alors, par
  composition des limites, 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}10e^{v_n}=10$.
\enen
\enex





\label{LastPage}
\end{document}

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