variations et TVI
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction
définie sur
par
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex0var/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex0var/2.png)
![$f(x)=xe^{x}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex0var/3.png)
- Étudier le sens de variation de
.
- Montrer que l'équation
admet une unique solution sur
, et en donner une valeur approchée à
près.
Correction
On considère la fonction
définie sur
par
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On considère la fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex0var_c/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex0var_c/2.png)
![$f(x)=xe^{x}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex0var_c/3.png)
- On a
avec
donc
, et
donc
, et alors
, soit
.
On a alors
- Sur
,
est continue (et même dérivable), strictement croissante, avec
et
.
On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou ici le théorème de la bijection) que l'équationadmet une unique solution
et donc aussi sur
car
est strictement croissante. Avec la calculatrice, par balayage, ou dichotomie, on trouve
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