Limites, asymptotes, variation

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

est la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative.

1. Déterminer les limites de en et .
2. Déterminer les limites de en et .
3. Interpréter graphiquement les résultats des deux questions précédentes.
4. Calculer et dresser le tableau de variation de .
5. Tracer dans un repère les asymptotes de et l'allure de .

Correction
est la fonction définie sur par .

1. Pour tout , .
   On a et , et donc, par quotient des limites, .
   De même, .
   
2. Limite en :   .
   Le dénominateur tend quant à lui vers ( est une valeur interdite). Il nous faut de plus déterminer le signe de celui-ci. est un trinôme du second degré qui admet comme racines et , et qui a donc pour signes
   
   
   
   
   Ainsi, (c'est-à-dire que ),
   puis, par quotient des limites,
   De même, (c'est-à-dire que ),
   puis, par quotient des limites,
   
    
   Limites en :    .
   De même que précédemment, en utilisant le signe du dénominateur , on obtient: et .
   
3. On en déduit que la droite d'équation est une asymptote horizontale à en et , et que les droites d'équation et sont des asymptotes verticales à .
   
4. .
   
   
   
   
   

5. On peut alors tracer la courbe représentant en commençant par ses asymptotes.   On n'oublie pas non plus que admet une tangente horizontale en .

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