Indépendance de deux événements

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(B)=0,5$, $P_B(A)=0,4$ et $P(A\cup B)=0,7$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Correction
Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Il faut donc ici déterminer $P(A\cap B)$ et $P(A)$.

On a $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} =\dfrac{P(A\cap B)}{0,5}=0,4$ d'où $P(A\cap B)=0,5\tm0,4=0,2$.
De plus
\[\begin{array}{rrl}&P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\ \iff &P(A)&=P(A\cup B)-P(B)+P(A\cap B)\\ &&=0,7-0,5+0,2\\ &&=0,4\enar\]


On calcule alors $P(A)\times P(B)=0,4\times0,5=0,2=P(A\cap B)$, ce qui montre donc que ces deux événements sont indépendants.

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