Bac 2013 - Probabilités, loi binomiale

Bac S, 20 juin 2013, 4 points
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur , 25 % de l'horticulteur et le reste de l'horticulteur H. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur seulement 30 %.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
   On envisage les événements suivants :
   
   • : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H »,
   • : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H »,
   • : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H »,
   • : « l'arbre choisi est un conifère »,
   • : « l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
   
   
    
   1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
   2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur .
   3. Justifier que la probabilité de l'évènement est égale à .
   4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur ? On arrondira à .
2. On choisit au hasard un échantillon de  arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de  arbres dans le stock. On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
   1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement  conifères?
      On arrondira à .
   3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à .

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