Étude complète de fonction
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/2.png)
![$f(x)=2x^3-3x^2-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/3.png)
Dresser le tableau de variation de
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/4.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/5.png)
![$-\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/6.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00/7.png)
Correction
La dérivée de
est
qui est un trinôme du second degré dont les racines (évidentes une fois factorisé) sont 0 et 1, et on a donc le tableau de signes et de variations:
![\[\begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
$x$ &$-\infty$ &&0&&1&&$+\infty$\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &0&$-$&0&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&$+\infty$\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&&$-4$&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/4.png)
En
, on a
, et donc, par somme des limites, on obtient
.
En
, on a une forme indéterminée "
". On factorise donc
![\[f(x)=2x^3\lp1-\dfrac3{2x}-\dfrac1{2x^3}\rp\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/10.png)
avec
et
, et donc, par produit des limites,
.
Cacher la correction
![$f:\la\begin{array}{lcl}\R&\to&\R\\x&\mapsto&2x^3-3x^2-1\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/1.png)
La dérivée de
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/2.png)
![$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/3.png)
![\[\begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
$x$ &$-\infty$ &&0&&1&&$+\infty$\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &0&$-$&0&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&$+\infty$\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&&$-4$&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/4.png)
En
![$-\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/5.png)
![$\dsp\lim_{x\to-\infty}2x^3=\lim_{x\to-\infty}-3x^2=-\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/6.png)
![$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/7.png)
En
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/8.png)
![$\infty-\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/9.png)
![\[f(x)=2x^3\lp1-\dfrac3{2x}-\dfrac1{2x^3}\rp\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/10.png)
avec
![$\dsp\lim_{x\to+\infty}2x^3=+\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/11.png)
![$\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp1-\dfrac3{2x}-\dfrac1{2x^3}\rp=1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/12.png)
![$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF00_c/13.png)
Cacher la correction
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