Billets gagnants dans une foire (suite et loi binomiale)

Dans une foire, une publicité annonce: « Un billet sur deux est gagnant, achetez deux billets !».
Dans cet exercice, on suppose qu'effectivement, sur le nombre de billets en vente, exactement un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteur de la journée.
Partie A Un jour, cents billets sont mis en vente. Xavier en achète deux.
Calculer la probabilité qu'il ait au moins un billet gagnant (donner le résultat sous forme de fraction).
Partie B Un autre jour, billets sont mis en vente ( est un entier naturel).
Xavier achète deux billets.

1. Démontrer que la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant est: .
   
2. Calculer et expliquer ce résultat.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, .

Partie C Tous les jours, billets sont mis en vente ( est un entier naturel non nul).
Xavier revient chaque jour, pendant 3 jours, acheter deux billets.

1. Quelle est la probabilité qu'il obtienne, au cours de ces 3 jours, au moins un billet gagnant ?
2. Etudier la limite de la suite .

Correction

Partie A Notons l'événement « le billet est gagnant» (pour ).

L'événement « avoir au moins un billet gagnant» est le contraire de l'événement « avoir exactement deux billets perdants». La probabilité de l'événement « Xavier achète au moins un billet gagnant» est donc:

Partie B

. est la probabilité que Xavier ait au moins un billet gagnant sur les billets mis en vente. Comme il y a exactement billet gagnant sur , et que Xavier achète 2 billets, il est certain d'avoir acheté le billet gagnant (et le billet perdant aussi d'ailleurs). Comme est une probabilité, on a évidemment . De plus, . Or, , donc , d'où, . En résumé, on a bien pour tout entier , .

Partie C

1. On répète , de manière indépendante, la même expérience qui consiste à acheter deux billets.
   On note l'événement succès « obtenir au moins un billet gagnant». D'après la partie B, on a: . Notons la variable aléatoire égale au nombr de jours où Xavier obtient au moins gagnant, c'est-à-dire la variable aléatoire égale au nombre de succès sur les répétitions de l'expérience. Alors, suit la loi binomiale de paramètres et , d'où
   
   
   
   
   
2. est une fraction rationnelle, et donc sa limite en l'infini est égale à la limite de ses termes de plus haut degré: .
   Ainsi, .

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