Bac 2008 (Nouvelle Calédonie) - Arbre, arbre à inverser, loi binomiale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :
  • pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10 % n'ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.
  • pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5 % n'ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.

 
Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.


  1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois.
    1. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92.
    2. Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
    3. Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ?

     
  2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2} près.
     
  3. L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1 euro si le poisson est rouge, $0,25 euro s'il est gris et perd $0,10 euro s'il ne survit pas.
     
    Soit $X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X et son espérance mathématique, arrondie au centime.


Correction
Nouvelle Calédonie, mars 2008
On note les événement $E: "le poisson provient du premier élevage", $M: "le poisson n'a pas survécu", $R: "le poisson est devenu rouge" et $G: "le poisson est devenu gris.
On peut alors construire l'arbre pondéré suivant:
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$E$}\rput(0.7,1.2){$0,60$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$M$}\rput(2.9,2.2){$0,10$} \psline(2,1.5)(3.5,1.5)\rput(3.75,1.5){$R$}\rput(2.9,1.6){$0,75$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$G$}\rput(2.9,0.7){$0,15$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{E}$}\rput(0.7,-1.2){$0,40$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$M$}\rput(2.9,-0.7){$0,05$} \psline(2,-1.5)(3.5,-1.5)\rput(3.75,-1.5){$R$}\rput(2.9,-1.4){$0,65$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$G$}\rput(2.9,-2.2){$0,30$} \end{pspicture}


    1. La probabilité que l'alevin acheté par l'enfant soit vivant au bout de trois mois est d'après l'arbre (ou la formule des probabilités totales):
      0,60\tm\lp0,75+0,15\rp+0,40\tm\lp0,65+0,30\rp=0,92


    2. De même la probabilité pour l'enfant d'avoir un poisson rouge est:
      0,60\tm0,75+0,40\tm0,65=0,71

    3. La probabilité que le poisson provienne du premier élevage sachant qu'il est gris est:
      P_G\left( E\rp=\dfrac{P\left( E\cap G\rp}{P(G)} =\dfrac{0,60\tm0,15}{0,60\tm0,15+0,40\tm0,30} =\dfrac{0,09}{0,21}\simeq 0,43

  2. On répète $n=5 fois l'expérience "choisir au hasard un alevin", dont le succès est "l'alevin est toujours en vie au bout d'un mois" et de probabilité $p=0,92. Ces expériences sont supposées identiques et indépendantes entre elles.
    Ainsi, la variable aléatoire $Y égale au nombre de succès, c'est-à-dire d'alevins en vie au bout d'un mois sur ces 5 pris au hasard, suit la loi binomiale de paramètres $n=5 et $p=0,92.
     
    La probabilité qu'au bout d'un mois trois soient en vie est alors:
    P\left( Y=3\rp=\binom{5}{3}0,92^3 \times (1 - 0,92)^2 = 10 \times 0,92^3 \times 0,08^2 \simeq 0,05

  3. On a le tableau de loi de probabilité suivant :

    \begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline couleur & rouge & gris & mort\\ \hline probabilit\'e & 0,71&0,21&0,08\\ \hline gain(euros) &$+1$&$+0,25$&$-0,10$\\ \hline \end{tabular}



    On a donc E$(X) = 0,71 \times 1 + 0,21 \times 0,25 - 0,08 \times 0,10 = 0,7545\approx 0,75 euro.


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