Source Latex
du cours de mathématiques
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: logarithme n�p�rien},
pdftitle={Logarithme n�p�rien},
pdfkeywords={logarithme n�p�rien, ln, terminale g�n�rale, sp�cialit� math�matiques}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
pagecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1cm
\textwidth=18.7cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{\ul{Th�or�me}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{\ul{Propri�t�}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{\ul{D�finition}}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Logarithme n�p�rien}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - sp� maths en terminale g�n�rale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{.1em}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale g�n�rale\\sp�cialit� maths\enmp}
%\tableofcontents
%\clearpage
\bgex
On se place dans un RON, et on note $d$ la droite d'�quation $y=x$.
\bgen
\item On consid�re les points $M(x;y)$ et $M'(y,x)$.
\bgen[a)]
\item Donner un vecteur directeur de $d$ et montrer que $\V{MM'}$ est orthogonal � $d$.
\item Montrer que les points $M$ et $M'$ sont sym�triques par rapport � la droite $d$.
\enen
\item On consid�re la courbe $\mathcal{C}$ repr�sentative de la fonction carr�: $x\mapsto x^2$ d�finie sur $\R_+$.
\bgen[a)]
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}$.
\item Soit $M$ un point quelconque de $\mathcal{C}$. Pr�ciser ses coordonn�es et celles de son sym�trique $M'$ par rapport � $d$.
\item Lorsque $M$ d�crit $\mathcal{C}$, la courbe de quelle fonction est d�crite par $M'$ ? Quel lien y-a-t'il entre la fonction carr� et cette fonction ?
\enen
\enen
\enex
\vspace{-.4em}
\bgex
1. R�soudre les �quations:
$\bullet\ e^x=1$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ e^x=e$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp e^x=\frac{1}{e}$
\bgen\setcounter{enumi}{1}
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout r�el strictement positif $\lbd$,
l'�quation $e^x=\lbd$ admet une unique solution.
\item Donner une valeur approch�e � $10^{-2}$ pr�s de la
solution de l'�quation $e^x=2$.
\enen
\enen
\enex
\section{Logarithme n�p�rien: d�finition et premi�res propri�t�s}
\vspace{-1.5em}
\bgdef{
Pour tout nombre $a$ strictement positif, on on appelle
\textbf{logarithme n�p�rien} de $a$ l'unique solution r�elle de l'�quation
$e^x=a$. \\
Autrement dit, on a, pour $a>0$,
\quad \pspolygon[linearc=5pt](0,-.2)(5.2,-.2)(5.2,.6)(0,.6)\quad$e^x=a\iff x=\ln(a)$\\[.5em]
La fonction logarithme n�p�rien, not�e $\ln$, est la fonction
d�finie sur $\R^*_+=]0;+\infty[$ qui � tout r�el $x>0$ associe le
r�el $x$, not� $\ln(x)$, dont l'exponentielle est $x$.
}
\bigskip\bigskip
\pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=blue,linewidth=1.4pt](0,-.3)(16,-.3)(16,.6)(0,.6){\hspace{2em}{\bf La fonction logarithme est la fonction r�ciproque de
l'exponentielle.}}
\bgprop{\ \\[-2.7em]
\bgen[$\bullet$]
\item Pour tout r�el $x>0$ et tout r�el $y$, $x=e^y$
�quivaut � $y=\ln(x)$.
\item Pour tout r�el $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$.
\item Pour tout r�el $x$, $\ln(e^x)=x$.
\item $\ln(1)$ est le nombre dont l'exponentielle vaut $1$,
donc $\ul{\ln(1)=0}\iff 1=e^0$.
\item $\ln(e)$ est le nombre dont l'exponentielle vaut
$e$, donc $\ul{\ln(e)=1}\iff e=e^1$.
\enen
}
\vspace{-1em}
\noindent\bgmp{11.5cm}
\bgprop{
Dans un rep�re orthonormal, les courbes repr�sentatives
$\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$
des fonctions exponentielle et logarithme sont sym�triques
par rapport � la droite d'�quation $d:y=x$.
}
\vspd\noindent
\bgproof{C'est une propri�t� des courbes de fonctions sont r�ciproques l'une de l'autre, cf. exercice 2.}
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3.5,3.2)
\psline[linewidth=.5pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=.5pt]{->}(0,-3)(0,2.7)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3}{1.2}{2.718 x exp}\rput(-2.2,0.4){\blue$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.05}{3}{x ln}\rput(0.4,-2.2){\red$\mathcal{C}'$}
\psplot{-2.5}{3}{x}\rput{45}(1.8,2.1){$d:y=x$}
\rput(1,0){$\tm$}\rput(0,1){$\tm$}
\rput(0.2,-0.2){\footnotesize$O$}
\rput(1.1,-0.2){$1$}\rput(-0.2,1.1){$1$}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgex
R�soudre les �quations:
$\bullet\ e^x=5$
\hspace{0.3cm}
$\bullet\ \ln(x)=-5$
\hspace{0.3cm}
$\bullet\ \ln(2x-1)=-2$
\hspace{0.33cm}
$\bullet\ \ln(1+x)=100$
\enex
\bgex
\'Etudier le signe des expressions:
a) \ $\ln(x-1)$ \qquad
b) \ $\ln\lp\dfrac{x^2}{5x-6}\rp$
\enex
\section{Propri�t�s alg�briques de la fonction $\ln$}
\vspace{-1.5em}
\bgth{\textbf{Relation fondamentale du ln.} \quad
Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$,
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
}
\medskip
\bgproof{Soit $a>0$ et $b>0$,
alors
$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a)} e^{\ln(b)}=ab$
et $e^{\ln(ab)}=ab$.
On en d�duit que $e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(ab)}$, et donc, la fonction
exponentielle �tant strictement croissante sur $\R$, que
$\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$.}
\bgcorol{Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$, et tout entier naturel $n$,
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
1. \ $\ln\lp\dfrac1a\rp=-\ln(a)$
&2. \ $\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)-\ln(b)$ \\
3. \ $\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$
& 4. \ $\ln\lp a^{-n}\rp=-n\ln(a)$
&5. \ $\ln\lp\sqrt{a}\rp=\dfrac12\ln(a)$
\end{tabular}
}
\bgproof{1.
$\ln\lp\dfrac1a\rp+\ln(a)=\ln\lp\dfrac1a\tm a\rp=\ln(1)=0$
d'o� le r�sultat.
\vspace{-.2em}
\bgen\setcounter{enumi}{1}
\item Comme $\dfrac{a}{b}=a\tm\dfrac1b$, on a
$\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)+\ln\lp\dfrac1b\rp
=\ln(a)-\ln(b)$.
\item On cherche � d�montrer une propri�t� pour tout entier $n$, on pense (bien s\^ur ?!) � une r�currence. On note donc $P_n$ la propri�t� $\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$.
\ul{Initialisation:}
Pour $n=0$, $a^0=1$ pour tout $a>0$ et $\ln(a^0)=\ln(1)=0$
qui est bien �gal � $0\ln(a)=0$, et $P_0$ est donc vraie.
\ul{H�r�dit�:}
Suposons maintenant $P_n$ vraie pour un certain entier $n$, c'est-�-dire
$\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$.
Alors, on a $\ln\lp a^{n+1}\rp=\ln\lp a^n\tm a\rp=\ln\lp a^n\rp+\ln(a)$
et alors, en utilisant l'hypoth�se de r�currence
$\ln\lp a^{n+1}\rp=n\ln(a)+\ln(a)=(n+1)\ln(a)$,
ce qui montre que $P_{n+1}$ est alors aussi vraie.
\ul{Conclusion:} On vient donc de d�montrer, gr\^ace au principe de r�currence, que la propri�t� $P_n: \ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$ est vraie pour tout entier $n$.
\item On a simplement $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$ et donc, avec le r�sultat pr�c�dent,
$\ln\lp a^{-n}\rp=-\ln\lp a^n\rp=-n\ln(a)$.
\item Pour $a>0$, d'une part $\ln\lp\sqrt{a}^2\rp=\ln(a)$,
et d'autre part,
$\ln\lp\sqrt{a}^2\rp=2\ln(\sqrt{a})$.
On a donc $2\ln(\sqrt{a})=\ln(a)$ d'o� le r�sultat.
\enen}
\vspace{-.4em}
\noindent
{\it \ul{Remarque:} On a donc, pour tout r�el $a>0$,
$\ln(\sqrt{a})=\dfrac12\ln(a)=\ln(a^{\frac{1}{2}})$, d'o� la notation
$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$.
}
\bgex a)
D�terminer $\ln(2)+\ln(4)+\ln(8)+\ln(16)$ en fonction de $\ln(2)$.
\bgen[a)]
\item D�terminer $\ln(3)+\ln(27)+\ln(81)$ en fonction de $\ln(3)$.
\item Simplifier les expressions:
$\ln\lp5^2\tm2^5\rp$ et
$\ln\lp12\lp3^6\rp^2\rp$
\item Exprimer en fonction de $\ln(x)$ les expressions suivantes:
$A(x)=\ln\lp3x^2\rp$ ;
$B(x)=\ln\lp\sqrt{x}\rp+\ln\lp x^2\rp$ ; \
$C(x)=\ln(x+4)-\ln\lp4x+x^2\rp$ ; \
$D(x)=\ln\lp x^3-x^2\rp-\ln(x-1)$ ; \
$E(x)=\ln\lp\dfrac1x\rp-\ln(2x)$
\enen
\enex
\bgex
R�soudre dans $\R$, puis dans $\N$, les in�quations suivantes:
a) $3^n>125$ \quad
b) $5^n\leqslant10\,000$ \qquad
c) $0,5^n<0,001$ \qquad
d) $\lp\dfrac9{10}\rp^n>10^5$ \qquad
e) $2^{n-5}>3000$ \qquad
f) $1-0,3^n>0,95$ \qquad
g) $\dfrac{4^n}{5^{n-1}}>1$
\enex
\bgex \textbf{QCM}\\
\noindent
\bgmp[t]{6.3cm}
1. \bgmp[t]{5.4cm}Le nombre $\ln(125)$ est �gale~�: \\[.5em]
\begin{tabular}{p{3cm}l}
a) $5\ln(3)$
&b) $25\ln(5)$\\[.5em]
c) $3\ln(5)$
&d) $5\ln(25)$
\end{tabular}\enmp
\enmp\hfill
\bgmp[t]{8.cm}
2. \bgmp[t]{7cm}Le plus grand intervalle de d�finition de la fonction
$f:x\mapsto\ln\lp x^2+x+1\rp$ est:\\[.5em]
\begin{tabular}{p{3cm}l}
a) $]0;+\infty[$
&b) $]-\infty;0[$\\[.5em]
c) $[0;1]$
&d) $\R$.
\end{tabular}\enmp
\enmp\hfill
\bgmp[t]{3.6cm}
3. \bgmp[t]{3.1cm}Pour tout r�el~$x$, \ $\ln\lp x^2\rp=2\ln(x)$:
\bgen[a)]
\item Vrai
\item Faux
\enen\enmp
\enmp\\[.6em]
\bgmp[t]{8cm}
4. \bgmp[t]{7.4cm}L'expression $\ln\lp\sqrt2\rp+\dfrac12\ln(7)$ est �gale �:\\[.5em]
\begin{tabular}{p{3cm}l}
a) $\ln(\sqrt{14})$
&b) $\dfrac12\ln(14)$\\[.8em]
c) $\dfrac12\ln(9)$
&d) $\ln(7)$
\end{tabular}\enmp
\enmp\hspace{2em}
\bgmp[t]{8.cm}
5. \bgmp[t]{7.6cm}L'in�quation $\ln\lp\dfrac23\rp x-1>3$ �quivaut �:
\begin{tabular}{ll}
a) $x>\dfrac4{\ln\lp\dfrac23\rp}$
&b) $x\geqslant\dfrac4{\ln\lp\dfrac23\rp}$\\
c) $x<\dfrac4{\ln(2)-\ln(3)}$
&d) $x>4-\ln\lp\dfrac23\rp$
\end{tabular}\enmp
\enmp\hfill
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ une suite g�om�trique de raison $q=1,5$ et de premier terme $u_0=2$. Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ? Quelle est sa limite ?
\'A partir de quel rang a-t-on $u_n>120$ ?
\enex
\bgex
Je poss�de 1000 euros sur un compte en banque.
Chaque ann�e ce compte me rapporte 4\% d'int�r\^ets (int�r\^ets compos�s: chaque ann�e le capital de l'ann�e pr�c�dente est augment� de 4\%). \\
Au bout de combien d'ann�es le montant sur ce compte aura-t-il doubl� ? tripl� ?
\enex
\vspace{-1.2em}
\noindent
\parbox[t]{\linewidth}{
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie par l'expression
$\dsp f(x)=\ln\lp\frac{1+x}{1-x}\rp$.
D�terminer l'ensemble de d�finition de $f$, et montrer que sa courbe
repr�sentative admet l'origine du rep�re comme centre de sym�trie.
\enex
}
\section{\'Etude de la fonction $\ln$}
\vspace{-2em}
\bgprop{La fonction $\ln$ est continue et d�rivable sur $]0;+\infty[$, et
pour tout $x>0$, $\dsp \ln'(x)=\frac{1}{x}$.
}
\vspd\noindent
\bgproof{
On admet que la fonction $\ln$ est d�rivable (et donc aussi continue)
sur $\R_+^*$. \\
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R_+^*$ par $f(x)=e^{\ln(x)}$. \\
Par d�finition du logarithme, pour tout $x>0$, $f(x)=x$, et en
particulier, $f'(x)=1$.
\medskip\noindent
Par ailleurs, en d�rivant la fonction compos�e $f=e^u$, on obtient:
$f'(x)=\ln'(x) e^{\ln(x)}=\ln'(x)\,x$. \\
On en d�duit que $\ln'(x)\,x=1$, soit, $\dsp \ln'(x)=\frac{1}{x}$.
}
\bgprop{\vspace{-1em}
\bgen
\item La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$
\item Pour tous $a>0$ et $b>0$, on a
$\ln(a)=\ln(b)\iff a=b$
et
$\ln(a)<\ln(b)\iff a<b$.
\item La courbe de la fonction $\ln$ est concave
\item $\dsp\lim_{x\to0}\ln(x)=-\infty$
\quad et \quad
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$
En d'autres termes, la droite $x=0$ (l'axe des ordonn�es) est une asymptote verticale.
\item Pour toute fonction $u$ d�rivable et strictement positive,
on a $\lp\ln(u)\rp'=\dfrac{u'}{u}$
\enen
}
\vspd\noindent
\bgproof{1. $\ln'(x)=\dfrac1x>0$ pour $x>0$ d'o� le sens de variation.
\vspace{-.6em}
\bgen\setcounter{enumi}{1}
\item C'est une cons�quence directe du point pr�c�dent: $f$ strictement croissante si et seulement si $f$ conserve l'ordre.
\item $\ln$ est deux fois d�rivable, avec $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ pour tout $x>0$, d'o� la concavit�.
\item \ul{En $+\infty$.}
Pour $A$ un nombre r�el quelconque, aussi grand que l'on veut,
il suffit de choisir $x>e^A$ pour avoir $\ln(x)>A$, puisque $\ln$ est strictement croissante. \\
Ceci signifie exactement que
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.
\ul{En $0$.}
Pour $x>0$, on pose $\dsp X=\frac{1}{x}$.
Alors, $\dsp\ln(x)=\ln\lp\frac{1}{X}\rp=-\ln(X)$.
Ainsi, $\dsp\lim_{x\to0^+}
\ln(x)=\lim_{X\to+\infty}\Big(-\ln(X)\Big)=-\infty$.
\item C'est la formule de la d�riv�e d'une fonction compos�e:
$\lp f\circ g\rp'=g'\tm f'\circ g$,
avec $f=\ln$ et $g=u$.
\enen
}
\bgex
R�soudre:
\quad
$\bullet\ \ln(x+1)=1$
\quad
$\bullet\ \ln(x^2+6x+10)=0$
\quad
$\bullet\ \ln(x)\geqslant1$
\quad
$\bullet\ \ln\lp x^2+1\rp\leqslant1$ \\[.5em]
$\bullet\ e^{3x-1}=3$
\quad
$\bullet\ \dfrac1{e^{x-2}}=\sqrt3$
\quad
$\bullet\ e^{-4x+2}-5=0$
\quad
$\bullet\ e^{x^2-4}\leqslant1$
\quad
$\bullet\ \ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$ \\[.5em]
$\bullet\ \ln(x^2-3)\leq \ln(x)+\ln(2)$
\quad
$\bullet\ 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3=0$
\quad
$\bullet\ 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3>0$
\\[.7em]
$\bullet\ e^{2x}-5e^x+6=0$
\quad
$\bullet\ e^{2x}-6e^x+4=0$
\quad
$\bullet\ e^{2x}-7e^x+12>0$
\enex
\bgex
R�soudre les syst�mes suivants, d'inconnues $x$ et $y$ \\[-.3em]
\[\la\bgar{rcrcr}
\ln(x)&+&\ln(y)&=&25\\[.3em]
2\ln(x)&+&\ln(y)&=&1
\enar\right.
\quad , \quad
\la\bgar{rcrcr}
3e^x&+&e^y&=&4\\[.3em]
e^x&-&2e^y&=&-5
\enar\right.
\quad \text{ et } \quad
\la\bgar{rcr}
\ln\lp x\sqrt{y}\rp&=&9\\[.3em]
2\ln(x)+\ln\lp y^3\rp&=&0
\enar\right.
\]
\enex
\vspace{-.4em}
\bgex
\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation de la tangente � la courbe $\mathcal{C}$
repr�sentative de la fonction $\ln$ aux points d'abscisse $1$ et $e$.
\item Tracer dans un rep�re la courbe $\mathcal{C}$ et ses deux tangentes.
\item Montrer que, pour tout r�el $x>0$, $\ln(x)\leqslant x-1$.
\enen
\enex
\bgex
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes:
$f(x)=\ln\lp x^2\rp$ ; \
$g(x)=\ln\lp5x+2\rp$ ; \\[.5em]
$h(x)=\ln\lp\dfrac1x\rp$ ; \
$k(x)=2\ln\lp\sqrt{x}\rp$ ; \
$l(x)=\dfrac32\ln\lp e^{2x+1}+3\rp$ ; \
$m(x)=\ln\lp\dfrac{x+1}{x+2}\rp$ ; \
$n(x)=-3x\ln\lp e^x+1\rp$
\enex
\bgex
D�terminer les limites aux bornes de son ensemble de d�finition de
$f:x\mapsto\dfrac{\ln(x)+2}{\ln(x)-1}$.
\enex
\bgex
Etudier la fonction $f$ d�finie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\dfrac1x-\ln(x)$.
\enex
\bgex
\'Etudier la fonction d�finie pour tout $x>-1$ par
$f(x)=\ln(x+1)+x^2+x+1$
\enex
\bgex
Etudier la fonction $f$ d�finie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^2$.
\enex
\bgex
Etudier la fonction $f$ d�finie par l'expression
$f(x)=\ln\lp\ln(x)\rp$.
\enex
\bgex
On note $C_f$ et $C_g$ les courbes repr�sentatives des fonctions $f$ et $g$ d�finies sur $\R_+^*$ par $f(x)=\ln(x)$ et $g(x)=x^2$.
On note de plus rexpectivement $M_x$ et $N_x$ les points de $C_f$ et $C_g$ d'abscisse~$x$. \\
Repr�senter graphiquement la situation. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la distance $M_xN_x$ est-elle minimale ?
\enex
\bgprop{ \textbf{Croissances compar�es}\\[-.8em]
\[\lim_{x\to0}x\ln(x)=0 \text{ et }
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\]
ou, plus g�n�ralement,
pour tout entier naturel $n>0$, on a
\[\lim_{x\to0}x^n\ln(x)=0 \text{ et }
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0\]
}
\bgproof{
On se ram�ne au th�or�me de croissances compar�es pour l'exponentielle en posant $X=\ln(x)\iff e^X=x$, et alors
$x\ln(x)=Xe^X$, d'o�
\[\lim_{x\to0}x\ln(x)=\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0\]
On passe ensuite de la limite en 0 � celle en $+\infty$ en posant cette fois $X=\dfrac1x$
et alors
\[\dfrac{\ln(x)}{x}=X\ln\lp\dfrac1X\rp=-X\ln(X)\]
\vspace{-.7em}\noindent
d'o�, d'apr�s le r�sultat pr�c�dent,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\to0}-X\ln(X)=0$.
}
\bgex
Soit $f$ d�finie sur $]0;+\infty[$ par
$f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp$ et $\Cf$ sa courbe repr�sentative.
\bgen
\item Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
variation.
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'�quation $y=x-\ln(2)$ est
asymptote � $\Cf$ en $+\infty$.
\item Etudier la position de $\Cf$ par rapport � $\Delta$.
\enen
\item Montrer que l'�quation $f(x)=0$ admet une solution unique
$\alpha$ et justifier que $\dsp\alpha\in\Big[1;\frac{5}{4}\Big[$.
\item Tracer $\Delta$ et $\Cf$.
\enen
\enex
\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ d�finies sur $\R_+^*$par $f(x)=(-x+3)\ln(x)$
et $g(x)=\dfrac3x-1-\ln(x)$.
\noindent\textbf{Partie A.}
\bgen
\item Calculer la d�riv�e $g'$ de $g$ et en d�duire les variations de $g$.
\item Calculer $g(1)$ et $g(2)$ et en d�duire qu'il existe un unique $\alpha\in]0;+\infty[$ tel que $g(\alpha)=0$.
Donner une valeur approch�e de $\alpha$ � $10^{-2}$ pr�s.
\enen
\noindent\textbf{Partie B.}
Calculer la d�riv�e $f'$ de $f$ et en d�duire les variations de $f$.
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{x-1}{x}\ln(x)$
et on note $\Cf$ sa courbe repr�sentative.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ d�finie
sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-1+\ln(x)$.
\item V�rifier que $g(1)=0$.
En d�duire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout r�el $x$ de $]0;+\infty[$,
$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
En d�duire les variations de $f$.
\item Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$, puis tracer l'allure de la courbe $\Cf$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Soit $u$ la suite d�finie pour tout $n>0$ par \quad
$u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{2n}
=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}$.
\bgen[I.]
\item
Caculer $u_1$ et $u_2$, puis
d�montrer que pour tout entier naturel non nul $n$,
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}$.
\item {\it Etude de la convergence de la suite $u$}
\bgen[a)]
\item D�montrer que pour tout r�el $x$ strictement positif,
$\dsp 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x)\leq x-1$
\item En d�duire que pour tout entier naturel non nul $p$,
$\dsp \frac{1}{p+1}\leq \ln\lp\frac{p+1}{p}\rp\leq \frac{1}{p}$
\enen
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
\bgen[a)]
\item Ecrire l'encadrement pr�c�dent pour les valeurs
$n$, $n+1$, \dots, $2n-1$ de $p$.
\item En effectuant les sommes membre � membre des in�galit�s
obtenues, d�montrer que
\vspace{-.4em}
\[ u_n\leq \ln(2)\leq u_n+\frac{1}{2n}\]
\enen
\vspace{-.4em}
\item Prouver alors que la suite $u$ converge vers $\ln(2)$.
\enen
\enex
\vspace{-.2em}
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie pour $x>0$ par $f(x)=x^x$.
\bgen
\item Justifier que $f(x)=e^{x\ln(x)}$.
\item Calculer les limites de $f$ en 0 et $+\infty$.
\item D�montrer que, pour tout $x>0$,
$f'(x)=\lp1+\ln(x)\rp\,f(x)$. En d�duire les variations de $f$ et tracer l'allure de sa courbe repr�sentative.
\enen
\enex
%\clearpage
\vspace{-.4em}
\section{Logarithme d�cimal}
\vspace{-2.2em}
\bgdef{
La fonction logarithme d�cimal, not�e $\log$, est
d�finie sur $]0;+\infty[$ par
$\dsp \log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
}
\vspace{-.3em}
\bgprop{\vspace{-1.4em}
\bgen[$\bullet$]
\item $\log(1)=0$,
$\log(10)=\dfrac{\ln(10)}{\ln(10)}=1$
et donc $\log\lp10^n\rp=n\log(10)n$.
\item Comme $\log(x)=\dfrac1{\ln(10)}\tm\ln(x)$,
on a $\log'(x)=\dfrac1{\ln(10)}\tm\dfrac1x$, o� $\ln(10)>0$.
\item Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$,
$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$.
\item Pour tout r�el $a>0$, $\log(a^n)=n\log(a)$.
\vsp
En particulier, lorsque $a=10$, $\log(10^n)=n\log(10)=n$.
$n=\log{a}$ �quivaut � $a=10^n$: le logarithme d�cimal "compte
les puissances de $10$".
\bigskip
\pspolygon[linearc=5pt](0,-.8)(16,-.8)(16,.6)(0,.6)
\ \textbf{Le logarithme d�cimale est la fonction r�ciproque de la
fonction $x\mapsto 10^x$: \\[-1em]
\[\log(x)=y \iff x=10^y \qquad \text{ et } \qquad \log\lp10^x\rp=x\]
}
\enen
}
\bgex \textbf{Echelle de Richter}\quad
La magnitude d'un s�isme, sur l'�chelle de Richter, est �valu�e �
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistr�es sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$,
o� $A_0$ d�signe l'amplitude d'un s�isme de r�f�rence.
\bgen
\item On a mesur� l'amplitude d'un s�isme et on a obtenu
$A=3,98\,10^7\,A_0$.
Calculer la magnitude de ce s�isme sur l'�chelle de Richter.
\item La magnitude d'un s�isme est $5$.
D�terminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude �
l'amplitude de r�f�rence.
\item A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
magnitude de $1$ sur l'�chelle de Richter.
\enen
\enex
\vspace{-.4em}
\bgex \textbf{pH d'une solution}\quad
La molarit� en ions $H^+$ d'une solution est le nombre,
not� $[H^+]$ de moles par litre d'ions $H^+$.
$[H^+]$ s'exprime g�n�ralement par un nombre comportant une puissance
n�gative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple).
On lui pr�f�re donc le pH d�fini par
pH$=-\log([H^+])$.
\bgen
\item Quel est le pH d'un solution contenant $3\,10^{-7}$ moles
d'ions $H^+$ par litre ?
\item Quelle est la molarit� en ions $H^+$ d'une solution neutre
(pH$=7$) ?
\enen
\enex
\section{Exponentielle de base $a$}
\vspace{-1.7em}
\bgdef{La fonction exponentielle de base $a>0$ est d�finie pour $x>0$ par
$f(x)=a^x=e^{x\ln(a)}$.
}
\bigskip
\noindent\textsl{Remarque: la fonction exponentielle "naturelle" est la fonction exponentielle de base le nombre $e$.}
\bgex
\'Etudier les fonctions $f$ et $g$ d�finies pour $x>0$ par
$f(x)=0,5^x$ et $g(x)=5^x$.
Tracer, sur un m\^eme graphique, l'allure de leur courbe repr�sentative ainsi que la courbe de la fonction exponentielle.
\enex
\end{document}
Télécharger le fichier source 
