Bac blanc: QCM: fonctions, convexité, suite et programme Python - Probabilités: test pour détecter une maladie - Suites: un peu sur les suites - Géométrie dans l'espace - Fonction logarithme
Devoir corrigé
Logarithme népérien et convexité
logarithme népérien: résolution d'équations, étude de fonction, et convexité, points d'inflexion
Devoir corrigé
Limites, fonctions et suites
maison: calculs de dérivées, limites, fonctions et suites récurrentes, démonstration par récurrence et théorème des gendarmes
Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Bac 2022 (11 mai): Exponentielle et suite récurrente
Exercices corrigés
Inégalité (de cours) avec une exponentielle
Exercices corrigés
variations et TVI
Exercices corrigés
Fonction rationnelle en exponentielle
Exercices corrigés
Encadrement de e
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours math�matiques: logarithme n�p�rien},
    pdftitle={Logarithme n�p�rien},
    pdfkeywords={logarithme n�p�rien, ln, terminale g�n�rale, sp�cialit� math�matiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Th�or�me}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
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  \paragraph{\ul{Propri�t�}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{D�finition}}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Logarithme n�p�rien}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - sp� maths en terminale g�n�rale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\vspace*{.1em}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale g�n�rale\\sp�cialit� maths\enmp}


%\tableofcontents
%\clearpage



\bgex
On se place dans un RON, et on note $d$ la droite d'�quation $y=x$. 

\bgen
\item On consid�re les points $M(x;y)$ et $M'(y,x)$. 
\bgen[a)]
\item Donner un vecteur directeur de $d$ et montrer que $\V{MM'}$ est orthogonal � $d$. 
\item Montrer que les points $M$ et $M'$ sont sym�triques par rapport � la droite $d$. 
\enen

\item On consid�re la courbe $\mathcal{C}$ repr�sentative de la fonction carr�: $x\mapsto x^2$ d�finie sur $\R_+$. 

  \bgen[a)]
  \item Tracer l'allure de $\mathcal{C}$. 
  \item Soit $M$ un point quelconque de $\mathcal{C}$. Pr�ciser ses coordonn�es et celles de son sym�trique $M'$ par rapport � $d$. 
  \item Lorsque $M$ d�crit $\mathcal{C}$, la courbe de quelle fonction est d�crite par $M'$ ? Quel lien y-a-t'il entre la fonction carr� et cette fonction ?
  \enen
\enen
\enex

\vspace{-.4em}
\bgex
1. R�soudre les �quations: 
  $\bullet\ e^x=1$
  \hspace{0.5cm}
  $\bullet\ e^x=e$
  \hspace{0.5cm}
  $\bullet\ \dsp e^x=\frac{1}{e}$
\bgen\setcounter{enumi}{1}
\item 
  \bgen[a)]
  \item Montrer que pour tout r�el strictement positif $\lbd$, 
    l'�quation $e^x=\lbd$ admet une unique solution. 
  \item Donner une valeur approch�e � $10^{-2}$ pr�s de la
    solution de l'�quation $e^x=2$. 
  \enen
\enen
\enex


\section{Logarithme n�p�rien: d�finition et premi�res propri�t�s}
\vspace{-1.5em}

\bgdef{
  Pour tout nombre $a$ strictement positif, on on appelle 
  \textbf{logarithme n�p�rien} de $a$ l'unique solution r�elle de l'�quation 
  $e^x=a$. \\
  Autrement dit, on a, pour $a>0$, 
  \quad \pspolygon[linearc=5pt](0,-.2)(5.2,-.2)(5.2,.6)(0,.6)\quad$e^x=a\iff x=\ln(a)$\\[.5em]
  La fonction logarithme n�p�rien, not�e $\ln$, est la fonction
  d�finie sur $\R^*_+=]0;+\infty[$ qui � tout r�el $x>0$ associe le
  r�el $x$, not� $\ln(x)$, dont l'exponentielle est $x$. 
}

  \bigskip\bigskip
  \pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=blue,linewidth=1.4pt](0,-.3)(16,-.3)(16,.6)(0,.6){\hspace{2em}{\bf La fonction logarithme est la fonction r�ciproque de
  l'exponentielle.}}

\bgprop{\ \\[-2.7em]
  \bgen[$\bullet$]
  \item Pour tout r�el $x>0$ et tout r�el $y$, $x=e^y$
    �quivaut � $y=\ln(x)$. 
  \item Pour tout r�el $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$.
  \item Pour tout r�el $x$, $\ln(e^x)=x$.    
  \item $\ln(1)$ est le nombre dont l'exponentielle vaut $1$, 
    donc $\ul{\ln(1)=0}\iff 1=e^0$. 
  \item $\ln(e)$ est le nombre dont l'exponentielle vaut
    $e$, donc $\ul{\ln(e)=1}\iff e=e^1$. 
  \enen
}

\vspace{-1em}
\noindent\bgmp{11.5cm}
\bgprop{
  Dans un rep�re orthonormal, les courbes repr�sentatives 
  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ 
  des fonctions exponentielle et logarithme sont sym�triques 
  par rapport � la droite d'�quation $d:y=x$.
}

\vspd\noindent
\bgproof{C'est une propri�t� des courbes de fonctions sont r�ciproques l'une de l'autre, cf. exercice 2.}
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3.5,3.2)
  \psline[linewidth=.5pt]{->}(-3,0)(3,0)
  \psline[linewidth=.5pt]{->}(0,-3)(0,2.7)
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3}{1.2}{2.718 x exp}\rput(-2.2,0.4){\blue$\mathcal{C}$}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.05}{3}{x ln}\rput(0.4,-2.2){\red$\mathcal{C}'$}
  \psplot{-2.5}{3}{x}\rput{45}(1.8,2.1){$d:y=x$}
  \rput(1,0){$\tm$}\rput(0,1){$\tm$}
  \rput(0.2,-0.2){\footnotesize$O$}
  \rput(1.1,-0.2){$1$}\rput(-0.2,1.1){$1$}
\end{pspicture*}
\enmp

\bgex
R�soudre les �quations: 
$\bullet\ e^x=5$
\hspace{0.3cm}
$\bullet\ \ln(x)=-5$
\hspace{0.3cm}
$\bullet\ \ln(2x-1)=-2$
\hspace{0.33cm}
$\bullet\ \ln(1+x)=100$
\enex

\bgex
\'Etudier le signe des expressions: 
a) \ $\ln(x-1)$ \qquad 
b) \ $\ln\lp\dfrac{x^2}{5x-6}\rp$ 
\enex

\section{Propri�t�s alg�briques de la fonction $\ln$}
\vspace{-1.5em}

\bgth{\textbf{Relation fondamentale du ln.} \quad 
  Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$, 
  $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$. 
}

\medskip
\bgproof{Soit $a>0$ et $b>0$, 
alors 
$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a)} e^{\ln(b)}=ab$ 
et $e^{\ln(ab)}=ab$. 

On en d�duit que $e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(ab)}$, et donc, la fonction
exponentielle �tant strictement croissante sur $\R$, que 
$\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$.} 


\bgcorol{Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$, et tout entier naturel $n$,  

  \begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
    1. \ $\ln\lp\dfrac1a\rp=-\ln(a)$ 
    &2. \ $\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)-\ln(b)$ \\
    3. \ $\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$ 
    &  4. \ $\ln\lp a^{-n}\rp=-n\ln(a)$ 
    &5. \ $\ln\lp\sqrt{a}\rp=\dfrac12\ln(a)$
  \end{tabular}
}


\bgproof{1. 
$\ln\lp\dfrac1a\rp+\ln(a)=\ln\lp\dfrac1a\tm a\rp=\ln(1)=0$ 
  d'o� le r�sultat. 
\vspace{-.2em}
\bgen\setcounter{enumi}{1}
\item Comme $\dfrac{a}{b}=a\tm\dfrac1b$, on a 
  $\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)+\ln\lp\dfrac1b\rp
  =\ln(a)-\ln(b)$. 

\item On cherche � d�montrer une propri�t� pour tout entier $n$, on pense (bien s\^ur ?!) � une r�currence. On note donc $P_n$ la propri�t� $\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$. 

  \ul{Initialisation:} 
  Pour $n=0$, $a^0=1$ pour tout $a>0$ et $\ln(a^0)=\ln(1)=0$ 
  qui est bien �gal � $0\ln(a)=0$, et $P_0$ est donc vraie. 

  \ul{H�r�dit�:}
  Suposons maintenant $P_n$ vraie pour un certain entier $n$, c'est-�-dire 
  $\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$. 

  Alors, on a $\ln\lp a^{n+1}\rp=\ln\lp a^n\tm a\rp=\ln\lp a^n\rp+\ln(a)$ 

  et alors, en utilisant l'hypoth�se de r�currence 
  $\ln\lp a^{n+1}\rp=n\ln(a)+\ln(a)=(n+1)\ln(a)$, 

  ce qui montre que $P_{n+1}$ est alors aussi vraie. 

  \ul{Conclusion:} On vient donc de d�montrer, gr\^ace au principe de r�currence, que la propri�t� $P_n: \ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$ est vraie pour tout entier $n$. 

\item On a simplement $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$ et donc, avec le r�sultat pr�c�dent, 
  $\ln\lp a^{-n}\rp=-\ln\lp a^n\rp=-n\ln(a)$. 
\item Pour $a>0$, d'une part $\ln\lp\sqrt{a}^2\rp=\ln(a)$, 
  et d'autre part, 
  $\ln\lp\sqrt{a}^2\rp=2\ln(\sqrt{a})$. 

  On a donc $2\ln(\sqrt{a})=\ln(a)$ d'o� le r�sultat. 
\enen}


\vspace{-.4em}
\noindent
{\it \ul{Remarque:} On a donc, pour tout r�el $a>0$, 
$\ln(\sqrt{a})=\dfrac12\ln(a)=\ln(a^{\frac{1}{2}})$, d'o� la notation
$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$.
}


\bgex a)
D�terminer $\ln(2)+\ln(4)+\ln(8)+\ln(16)$ en fonction de $\ln(2)$. 
\bgen[a)]
\item D�terminer $\ln(3)+\ln(27)+\ln(81)$ en fonction de $\ln(3)$. 
\item Simplifier les expressions: 
  $\ln\lp5^2\tm2^5\rp$ et 
  $\ln\lp12\lp3^6\rp^2\rp$
\item Exprimer en fonction de $\ln(x)$ les expressions suivantes:
  $A(x)=\ln\lp3x^2\rp$ ; 
  $B(x)=\ln\lp\sqrt{x}\rp+\ln\lp x^2\rp$ ; \ 
  $C(x)=\ln(x+4)-\ln\lp4x+x^2\rp$ ; \ 
  $D(x)=\ln\lp x^3-x^2\rp-\ln(x-1)$ ; \ 
  $E(x)=\ln\lp\dfrac1x\rp-\ln(2x)$
  
\enen
\enex

\bgex
R�soudre dans $\R$, puis dans $\N$, les in�quations suivantes: 
a) $3^n>125$ \quad 
b) $5^n\leqslant10\,000$ \qquad
c) $0,5^n<0,001$ \qquad 
d) $\lp\dfrac9{10}\rp^n>10^5$ \qquad 
e) $2^{n-5}>3000$ \qquad 
f) $1-0,3^n>0,95$ \qquad 
g) $\dfrac{4^n}{5^{n-1}}>1$
\enex


\bgex \textbf{QCM}\\
\noindent
\bgmp[t]{6.3cm}
1. \bgmp[t]{5.4cm}Le nombre $\ln(125)$ est �gale~�: \\[.5em]
  \begin{tabular}{p{3cm}l}
  a) $5\ln(3)$
  &b) $25\ln(5)$\\[.5em]
  c) $3\ln(5)$
  &d) $5\ln(25)$
  \end{tabular}\enmp
\enmp\hfill
\bgmp[t]{8.cm}
2. \bgmp[t]{7cm}Le plus grand intervalle de d�finition de la fonction 
$f:x\mapsto\ln\lp x^2+x+1\rp$ est:\\[.5em]
  \begin{tabular}{p{3cm}l}
  a) $]0;+\infty[$
  &b) $]-\infty;0[$\\[.5em]
  c) $[0;1]$
  &d) $\R$. 
  \end{tabular}\enmp
\enmp\hfill
\bgmp[t]{3.6cm}
3. \bgmp[t]{3.1cm}Pour tout r�el~$x$, \ $\ln\lp x^2\rp=2\ln(x)$:
  \bgen[a)]
  \item Vrai
  \item Faux
  \enen\enmp
\enmp\\[.6em]
\bgmp[t]{8cm}
4. \bgmp[t]{7.4cm}L'expression $\ln\lp\sqrt2\rp+\dfrac12\ln(7)$ est �gale �:\\[.5em]
  \begin{tabular}{p{3cm}l}
  a) $\ln(\sqrt{14})$
  &b)  $\dfrac12\ln(14)$\\[.8em]
  c) $\dfrac12\ln(9)$
  &d) $\ln(7)$
  \end{tabular}\enmp
\enmp\hspace{2em}
\bgmp[t]{8.cm}
5. \bgmp[t]{7.6cm}L'in�quation $\ln\lp\dfrac23\rp x-1>3$ �quivaut �: 
  \begin{tabular}{ll}
  a) $x>\dfrac4{\ln\lp\dfrac23\rp}$
  &b) $x\geqslant\dfrac4{\ln\lp\dfrac23\rp}$\\
  c) $x<\dfrac4{\ln(2)-\ln(3)}$ 
  &d) $x>4-\ln\lp\dfrac23\rp$ 
  \end{tabular}\enmp
\enmp\hfill
\enex


\bgex
Soit $(u_n)$ une suite g�om�trique de raison $q=1,5$ et de premier terme $u_0=2$. Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ? Quelle est sa limite ? 
\'A partir de quel rang a-t-on $u_n>120$ ?
\enex

\bgex
Je poss�de 1000 euros sur un compte en banque. 
Chaque ann�e ce compte me rapporte 4\% d'int�r\^ets (int�r\^ets compos�s: chaque ann�e le capital de l'ann�e pr�c�dente est augment� de 4\%). \\
Au bout de combien d'ann�es le montant sur ce compte aura-t-il doubl� ? tripl� ?
\enex

\vspace{-1.2em}

\noindent
\parbox[t]{\linewidth}{
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie par l'expression 
$\dsp f(x)=\ln\lp\frac{1+x}{1-x}\rp$. 

D�terminer l'ensemble de d�finition de $f$, et montrer que sa courbe
repr�sentative admet l'origine du rep�re comme centre de sym�trie. 
\enex
}



\section{\'Etude de la fonction $\ln$}
\vspace{-2em}

\bgprop{La fonction $\ln$ est continue et d�rivable sur $]0;+\infty[$, et 
  pour tout $x>0$, $\dsp \ln'(x)=\frac{1}{x}$.
}

\vspd\noindent
\bgproof{
On admet que la fonction $\ln$ est d�rivable (et donc aussi continue)
sur $\R_+^*$. \\
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R_+^*$ par $f(x)=e^{\ln(x)}$. \\
Par d�finition du logarithme, pour tout $x>0$, $f(x)=x$, et en
particulier, $f'(x)=1$. 

\medskip\noindent
Par ailleurs, en d�rivant la fonction compos�e $f=e^u$, on obtient: 
$f'(x)=\ln'(x) e^{\ln(x)}=\ln'(x)\,x$. \\
On en d�duit que $\ln'(x)\,x=1$, soit, $\dsp \ln'(x)=\frac{1}{x}$. 
}

\bgprop{\vspace{-1em}
\bgen
\item La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$
\item Pour tous $a>0$ et $b>0$, on a 
  $\ln(a)=\ln(b)\iff a=b$ 
  et 
  $\ln(a)<\ln(b)\iff a<b$. 
\item La courbe de la fonction $\ln$ est concave
\item $\dsp\lim_{x\to0}\ln(x)=-\infty$
  \quad et \quad 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$
  
  En d'autres termes, la droite $x=0$ (l'axe des ordonn�es) est une asymptote verticale. 
\item Pour toute fonction $u$ d�rivable et strictement positive, 
  on a $\lp\ln(u)\rp'=\dfrac{u'}{u}$
\enen
}

\vspd\noindent
\bgproof{1. $\ln'(x)=\dfrac1x>0$ pour $x>0$ d'o� le sens de variation. 

\vspace{-.6em}
\bgen\setcounter{enumi}{1}
\item C'est une cons�quence directe du point pr�c�dent: $f$ strictement croissante si et seulement si $f$ conserve l'ordre. 
\item $\ln$ est deux fois d�rivable, avec $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ pour tout $x>0$, d'o� la concavit�. 
\item \ul{En $+\infty$.} 
Pour $A$ un nombre r�el quelconque, aussi grand que l'on veut, 
il suffit de choisir $x>e^A$ pour avoir $\ln(x)>A$, puisque $\ln$ est strictement croissante. \\
Ceci signifie exactement que 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$. 

\ul{En $0$.} 
Pour $x>0$, on pose $\dsp X=\frac{1}{x}$. 
Alors, $\dsp\ln(x)=\ln\lp\frac{1}{X}\rp=-\ln(X)$. 

Ainsi, $\dsp\lim_{x\to0^+}
\ln(x)=\lim_{X\to+\infty}\Big(-\ln(X)\Big)=-\infty$. 
\item C'est la formule de la d�riv�e d'une fonction compos�e: 
  $\lp f\circ g\rp'=g'\tm f'\circ g$, 
  avec $f=\ln$ et $g=u$. 
\enen
}

\bgex
R�soudre: 
\quad 
$\bullet\ \ln(x+1)=1$
\quad 
$\bullet\ \ln(x^2+6x+10)=0$
\quad
$\bullet\ \ln(x)\geqslant1$ 
\quad 
$\bullet\ \ln\lp x^2+1\rp\leqslant1$ \\[.5em]
$\bullet\ e^{3x-1}=3$
\quad
$\bullet\ \dfrac1{e^{x-2}}=\sqrt3$
\quad
$\bullet\ e^{-4x+2}-5=0$
\quad 
$\bullet\ e^{x^2-4}\leqslant1$
\quad 
$\bullet\ \ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$ \\[.5em]
$\bullet\ \ln(x^2-3)\leq \ln(x)+\ln(2)$
\quad 
$\bullet\ 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3=0$
\quad 
$\bullet\ 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3>0$
\\[.7em]
$\bullet\ e^{2x}-5e^x+6=0$
\quad 
$\bullet\ e^{2x}-6e^x+4=0$
\quad
$\bullet\ e^{2x}-7e^x+12>0$
\enex

\bgex
R�soudre les syst�mes suivants, d'inconnues $x$ et $y$ \\[-.3em]
\[\la\bgar{rcrcr}
\ln(x)&+&\ln(y)&=&25\\[.3em]
2\ln(x)&+&\ln(y)&=&1
\enar\right.
\quad , \quad 
\la\bgar{rcrcr}
3e^x&+&e^y&=&4\\[.3em]
e^x&-&2e^y&=&-5
\enar\right.
\quad \text{ et } \quad 
\la\bgar{rcr}
\ln\lp x\sqrt{y}\rp&=&9\\[.3em]
2\ln(x)+\ln\lp y^3\rp&=&0
\enar\right.
\]
\enex

\vspace{-.4em}
\bgex
\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation de la tangente � la courbe $\mathcal{C}$ 
repr�sentative de la fonction $\ln$ aux points d'abscisse $1$ et $e$. 
\item Tracer dans un rep�re la courbe $\mathcal{C}$ et ses deux tangentes.
\item Montrer que, pour tout r�el $x>0$, $\ln(x)\leqslant x-1$. 
\enen
\enex

\bgex
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes: 
$f(x)=\ln\lp x^2\rp$ ; \ 
$g(x)=\ln\lp5x+2\rp$ ; \\[.5em]
$h(x)=\ln\lp\dfrac1x\rp$ ; \ 
$k(x)=2\ln\lp\sqrt{x}\rp$ ; \ 
$l(x)=\dfrac32\ln\lp e^{2x+1}+3\rp$ ; \ 
$m(x)=\ln\lp\dfrac{x+1}{x+2}\rp$ ; \ 
$n(x)=-3x\ln\lp e^x+1\rp$ 
\enex

\bgex
D�terminer les limites aux bornes de son ensemble de d�finition de 
$f:x\mapsto\dfrac{\ln(x)+2}{\ln(x)-1}$.
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ d�finie sur $\R_+^*$ par 
$f(x)=\dfrac1x-\ln(x)$.
\enex

\bgex
\'Etudier la fonction d�finie pour tout $x>-1$ par 
$f(x)=\ln(x+1)+x^2+x+1$
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ d�finie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^2$. 
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ d�finie par l'expression 
$f(x)=\ln\lp\ln(x)\rp$.
\enex

\bgex
On note $C_f$ et $C_g$ les courbes repr�sentatives des fonctions $f$ et $g$ d�finies sur $\R_+^*$ par $f(x)=\ln(x)$ et $g(x)=x^2$. 
On note de plus rexpectivement $M_x$ et $N_x$ les points de $C_f$ et $C_g$ d'abscisse~$x$. \\
Repr�senter graphiquement la situation. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la distance $M_xN_x$ est-elle minimale ? 
\enex

\bgprop{ \textbf{Croissances compar�es}\\[-.8em]
\[\lim_{x\to0}x\ln(x)=0 \text{ et } 
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\]
ou, plus g�n�ralement, 
pour tout entier naturel $n>0$, on a 
\[\lim_{x\to0}x^n\ln(x)=0 \text{ et } 
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0\]
}

\bgproof{
On se ram�ne au th�or�me de croissances compar�es pour l'exponentielle en posant $X=\ln(x)\iff e^X=x$, et alors 
$x\ln(x)=Xe^X$, d'o� 
\[\lim_{x\to0}x\ln(x)=\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0\]
On passe ensuite de la limite en 0 � celle en $+\infty$ en posant cette fois $X=\dfrac1x$ 
et alors 
\[\dfrac{\ln(x)}{x}=X\ln\lp\dfrac1X\rp=-X\ln(X)\]

\vspace{-.7em}\noindent
d'o�, d'apr�s le r�sultat pr�c�dent, 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\to0}-X\ln(X)=0$. 
}

\bgex
Soit $f$ d�finie sur $]0;+\infty[$ par 
$f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp$ et $\Cf$ sa courbe repr�sentative. 

\bgen
\item Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
\item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
  variation. 
\item
  \bgen[a)]
  \item Montrer que la droite $\Delta$ d'�quation $y=x-\ln(2)$ est
    asymptote � $\Cf$ en $+\infty$. 
  \item Etudier la position de $\Cf$ par rapport � $\Delta$. 
  \enen
\item Montrer que l'�quation $f(x)=0$ admet une solution unique
  $\alpha$ et justifier que $\dsp\alpha\in\Big[1;\frac{5}{4}\Big[$. 
\item Tracer $\Delta$ et $\Cf$.
\enen
\enex

\bgex
Soit les fonctions $f$ et $g$ d�finies sur $\R_+^*$par $f(x)=(-x+3)\ln(x)$ 
et $g(x)=\dfrac3x-1-\ln(x)$. 

\noindent\textbf{Partie A.}
\bgen
\item Calculer la d�riv�e $g'$ de $g$ et en d�duire les variations de $g$. 
\item Calculer $g(1)$ et $g(2)$ et en d�duire qu'il existe un unique $\alpha\in]0;+\infty[$ tel que $g(\alpha)=0$. 

Donner une valeur approch�e de $\alpha$ � $10^{-2}$ pr�s. 
\enen

\noindent\textbf{Partie B.}
Calculer la d�riv�e $f'$ de $f$ et en d�duire les variations de $f$. 


\enex

\bgex 
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0;+\infty[$ par 
    $f(x)=\dfrac{x-1}{x}\ln(x)$
et on note $\Cf$ sa courbe repr�sentative. 

\bgen
\item
  \bgen[a)]
  \item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ d�finie
    sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-1+\ln(x)$. 
  \item V�rifier que $g(1)=0$. 
    En d�duire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$. 
  \enen
\item
  \bgen[a)]
  \item Montrer que pour tout r�el $x$ de $]0;+\infty[$, 
    $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$. 
  En d�duire les variations de $f$. 
  \item Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
  \item Dresser le tableau de variation de $f$, puis tracer l'allure de la courbe $\Cf$.
  \enen
\enen
\enex



\bgex
Soit $u$ la suite d�finie pour tout $n>0$ par \quad 
$u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{2n}
=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}$. 

\bgen[I.]
\item 
  Caculer $u_1$ et $u_2$, puis 
  d�montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, 
      $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}$. 
\item {\it Etude de la convergence de la suite $u$}
  \bgen[a)]
    \item D�montrer que pour tout r�el $x$ strictement positif, 
      $\dsp 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x)\leq x-1$
    \item En d�duire que pour tout entier naturel non nul $p$, 
      $\dsp \frac{1}{p+1}\leq \ln\lp\frac{p+1}{p}\rp\leq \frac{1}{p}$
    \enen
  \item Soit $n$ un entier naturel non nul. 
    \bgen[a)]
    \item Ecrire l'encadrement pr�c�dent pour les valeurs 
      $n$, $n+1$, \dots, $2n-1$ de $p$. 
    \item En effectuant les sommes membre � membre des in�galit�s
      obtenues, d�montrer que 
    \vspace{-.4em}
      \[ u_n\leq \ln(2)\leq u_n+\frac{1}{2n}\]
    \enen
    \vspace{-.4em}
  \item Prouver alors que la suite $u$ converge vers $\ln(2)$.
\enen
\enex

\vspace{-.2em}
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie pour $x>0$ par $f(x)=x^x$. 
\bgen
\item Justifier que $f(x)=e^{x\ln(x)}$. 
\item Calculer les limites de $f$ en 0 et $+\infty$. 
\item D�montrer que, pour tout $x>0$, 
  $f'(x)=\lp1+\ln(x)\rp\,f(x)$. En d�duire les variations de $f$ et tracer l'allure de sa courbe repr�sentative. 
\enen

\enex

%\clearpage
\vspace{-.4em}
\section{Logarithme d�cimal}
\vspace{-2.2em}

\bgdef{
  La fonction logarithme d�cimal, not�e $\log$, est 
  d�finie sur $]0;+\infty[$ par 
  $\dsp \log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
}

\vspace{-.3em}
\bgprop{\vspace{-1.4em}
  \bgen[$\bullet$]
  \item $\log(1)=0$,
    $\log(10)=\dfrac{\ln(10)}{\ln(10)}=1$ 
    et donc $\log\lp10^n\rp=n\log(10)n$. 

  \item Comme $\log(x)=\dfrac1{\ln(10)}\tm\ln(x)$, 
    on a $\log'(x)=\dfrac1{\ln(10)}\tm\dfrac1x$, o� $\ln(10)>0$. 

  \item Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$, 
    $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$. 

  \item Pour tout r�el $a>0$, $\log(a^n)=n\log(a)$. 

    \vsp
    En particulier, lorsque $a=10$, $\log(10^n)=n\log(10)=n$. 

    $n=\log{a}$ �quivaut � $a=10^n$: le logarithme d�cimal "compte
    les puissances de $10$". 

    \bigskip
  \pspolygon[linearc=5pt](0,-.8)(16,-.8)(16,.6)(0,.6)
    \ \textbf{Le logarithme d�cimale est la fonction r�ciproque de la
      fonction $x\mapsto 10^x$: \\[-1em]
      \[\log(x)=y \iff x=10^y \qquad \text{ et } \qquad \log\lp10^x\rp=x\]
    }
  \enen
}


\bgex \textbf{Echelle de Richter}\quad 
La magnitude d'un s�isme, sur l'�chelle de Richter, est �valu�e �
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistr�es sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$, 
o� $A_0$ d�signe l'amplitude d'un s�isme de r�f�rence. 

\bgen
\item On a mesur� l'amplitude d'un s�isme et on a obtenu 
  $A=3,98\,10^7\,A_0$. 

  Calculer la magnitude de ce s�isme sur l'�chelle de Richter. 

\item La magnitude d'un s�isme est $5$. 
  D�terminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude �
  l'amplitude de r�f�rence. 

\item A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
  magnitude de $1$ sur l'�chelle de Richter. 
\enen
\enex

\vspace{-.4em}
\bgex \textbf{pH d'une solution}\quad
La molarit� en ions $H^+$ d'une solution est le nombre, 
not� $[H^+]$ de moles par litre d'ions $H^+$. 
$[H^+]$ s'exprime g�n�ralement par un nombre comportant une puissance
n�gative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple). 
On lui pr�f�re donc le pH d�fini par 
pH$=-\log([H^+])$. 
\bgen
\item Quel est le pH d'un solution contenant $3\,10^{-7}$ moles
  d'ions $H^+$ par litre ? 
\item Quelle est la molarit� en ions $H^+$ d'une solution neutre 
  (pH$=7$) ?
\enen
\enex

\section{Exponentielle de base $a$}
\vspace{-1.7em}

\bgdef{La fonction exponentielle de base $a>0$ est d�finie pour $x>0$ par 
  $f(x)=a^x=e^{x\ln(a)}$.
}

\bigskip
\noindent\textsl{Remarque: la fonction exponentielle "naturelle" est la fonction exponentielle de base le nombre $e$.}

\bgex
\'Etudier les fonctions $f$ et $g$ d�finies pour $x>0$ par 
$f(x)=0,5^x$ et $g(x)=5^x$. 
Tracer, sur un m\^eme graphique, l'allure de leur courbe repr�sentative ainsi que la courbe de la fonction exponentielle. 
\enex

\end{document}
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