Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: exponentielle et intégrale},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={logarithme, exponentielle, Mathématiques, TSTI2D, terminale,
STI2D, STI, STL, SPCL, 2016, Antilles, Guyane, exponentielle, intégrale}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Devoir de mathématiques}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{}%Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex
\bgen
\item Calculer les intégrales:
$I=\dsp\int_{-1}^1 \lp 2x^2+3\rp\,dx$ \ ;\
$J=\dsp\int_0^2 \dfrac{3}{2x+1}\,dx$
et
$K=\dsp\int_0^1 e^{3x}\,dx$
\item Dresser le tableau de varation de la fonction $f$
définie sur $\R$ par $f(x)=e^{3x}-x$.
Préciser les limites en $-\inty$ et $+\infty$.
\enen
\enex
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
\medskip
Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative,
dans le repère orthonormé $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
\[\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-1)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1,-0.99)(7.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](7.3,0){$x$}
\uput[l](0,3.1){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{2.75 0.5 x mul sub}
\uput[l](1.2,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](1,2.25){$T$}\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](2.5,1.5)\uput[ur](2.5,1.5){A}
\end{pspicture*}\]
\textbf{Partie A - Étude graphique}
\medskip
La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point A(2,5;1,5)
et d'ordonnée à l'origine 2,75.
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$
au voisinage de $+\infty$.
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie:
\begin{enumerate}
\item $f(1)$
\item $f'(2,5)$
\item Une équation de la tangente $T$
\item $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)$
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B - Modélisation}
\medskip
On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que,
pour tout réel $x$, $f(x) = (ax + b)e^{-x+2,5}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Exprimer en fonction des réels $a$ et $b$ les nombres suivants:
\[f(1) \quad ;\quad f'(2,5).\]
\item Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées
par $a$ et $b$.
\item Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$
en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie C - Étude algébrique}
\medskip
On admet que pour tout réel $x$, $f(x) = (x-1)e^{-x+2,5}$.
\medskip
\bgen
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout réel $x$,
$f(x)=e^{2,5}\lp\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\rp$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
\item Étudier le signe de $f'$
et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$ en
faisant figurer les limites trouvées précédemment.
\enen
\enen
\bigskip
\textbf{Partie D - Application}
\medskip
\noindent\bgmp{14cm}
On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface
d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil
auditif schématisé ci-contre.\\
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.
\enmp\hfill
\bgmp{3cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(0.5,0)(3,1.8)
\def\bordure{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{2}{2.47}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub 0.1 add}
\rput(-0.3,0.1){\bordure}
\psline(0.7,0.14)(1,0)(2,0.1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{2.47}{2}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub 0.1 add}
\psline(2,0.1)(1,0)
}
\end{pspicture*}\enmp
Dans le plan muni du repère orthonormé $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
cette surface correspond à la partie du plan limitée par :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'axe des abscisses;
\item[$\bullet~~$] les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2,5$ ;
\item[$\bullet~~$] la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
\item[$\bullet~~$] la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie par:
pour tout réel $x,$
$ g(x) = -2x^2 + 12x - 16$.
\end{itemize}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment.
Pour déterminer l'aire $S$ de cette surface, on décompose le calcul
en deux parties.
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante:
$I=\dsp\int_2^{2,5} g(x)\,dx$.
\item On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante:
$J=\dsp\int_1^{2,5} f(x)\,dx$ où $f$ est la fonction dont une expression
est donnée dans la partie C.
\bgen[a)]
\item Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$
est la fonction définie par,
pour tout réel~$x$, $F(x)=-xe^{-x+2,5}$.
\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ en unité d'aire,
\item En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $S$
en unité d'aire.
\enen
\enen
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1}
\bigskip
\textbf{\`A rendre avec la copie}
\bigskip
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-1)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-0.99)(7.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](7.3,0){$x$}
\uput[l](0,3.1){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.75}{7}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub}
\uput[l](1.2,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](3.5,1.5){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\label{LastPage}
\end{document}
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