Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: Fonction expontielle},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: exponentielle},
pdfkeywords={devoir corrigé, exponentielle, fonction exponentielle,
bac, baccalauréat, annales, correction,
TSTI2D, STI2D, STI, terminale, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/}}
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\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\textbf{Exercice 4, Bac STI2D, Polynésie, juin 2016, 4 points}
\medskip
\textbf{Partie A : Lecture graphique}
\medskip
On considère la courbe $C$ associée à une fonction $f$ représentée
en \textbf{ANNEXE 2} avec la droite T, tangente à la courbe $C$
au point d'abscisse 0.
\medskip
\bgen
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[-1;1,5]$
et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations
suivantes:
\bgen[a)]
\item $f(x) \geqslant 1$ pour $x\leqslant -0,8$ ou $x\geqslant 0$.
\item $f'(x) \geqslant 0$ lorsque $f$ est croissante,
soit pour $x\geqslant -0,5$.
\end{enumerate}
\item
\bgen[a)]
\item La tangente T passe par le point (0;1) donc son ordonnée
à l'origine est 1, et comme elle passe aussi par (2;7)
son coefficient directeur est
$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{7-1}{2-0}=3$.
Ainsi, l'équation de T est $y=3x+1$.
\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de T, donc $f'(0)=3$:
\enen
\enen
\bigskip
\textbf{Partie B : Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation
$f(x)=e^{-2x} + 5x$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item $\dsp\lim_{x\to+\infty}-2x=-\infty$ et donc,
comme $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0$.
De plus, $\dsp\lim_{x\to+\infty}5x=+\infty$, et alors,
par addition des limites,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
En $-\infty$, $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-2x}=+\infty$ et
l'exponentielle est prépondérante devant $x$.
On factorise donc,
$f(x)=e^{-2x}\lp 1+\dfrac{5x}{e^{-2x}}\rp
=e^{-2x}\lp 1+5xe^{2x}\rp$.
Par croissances comparées,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}5xe^{2x}=0$, et donc,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.
\item $f=e^u+v$
avec $u(x)=-2x$ donc $u'(x)=-2$,
et $v(x)=5x$ donc $v'(x)=5$,
et alors
$f'=u'e^u+v'$, soit $f'(x)=-2e^{-2x}+5$.
On a $f'(x)=-2e^{-2x}+5>0\iff -2e^{-2x}>-5$,
soit, en divisant par $-2<0$, $e^{-2x}<\dfrac52$,
et donc, $-2x<\ln\lp\dfrac52\rp$,
d'où en divisant à nouveau par $-2<0$,
$x>\dfrac{-1}{2}\ln\lp\dfrac52\rp$
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-\dfrac12\ln\lp\dfrac52\rp$ && $+\infty$
\\\hline
$f'(x)$ &&$-$&\zb&$+$& \\\hline
\end{tabular}\]
\item On en déduit le tableau des variations de $f$,
avec les limites de la question 1.:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-\dfrac12\ln\lp\dfrac52\rp$ && $+\infty$
\\\hline
&$+\infty$&&&&$+\infty$\\
$f$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,.5)(1,-.5)&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-1,-.5)(.5,.5)&\\
&&&&&\\
\hline\end{tabular}\]
\item
\bgen[a)]
\item On calcule $f\lp-\dfrac12\ln\lp\dfrac52\rp\rp\simeq0,2<2$,
et donc, d'après le tableau de variation, l'équation $f(x)=2$
admet deux solutions.
\item \`A l'aide de la calculatrice, on trouve environ
$-0,96$ et $0,29$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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