Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques TSTMG: loi normale},
pdftitle={Probabilités: loi normale},
pdfkeywords={probabilités, loi normale, loi binomiale, Mathématiques, STMG, terminale STMG, TSTMG}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
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\oddsidemargin=-1.7cm
%\parindent=0.2cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\medskip\stepcounter{nprop}
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités: loi normale}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTG/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTMG - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\psset{arrowsize=8pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}
\section{Loi binomiale}
\vspace{-1em}
\bgprop{On répète $n$ fois successivement,
de manière identique et indépendante,
une expérience aléatoire qui a deux issues possibles:
un succès de probabilité $p$ et un échec de probabilité $q=1-p$. \\
La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès
sur les $n$ répétitions suit alors la loi binomiale~$\mathcal{B}(n;p)$.
L'espérance est de plus: $E(X)=np$.
\medskip
Les probabilités peuvent se calculer à l'aide
d'une calculatrice ou d'un ordinateur (tableur par exemple).
}
\bgex
\bgen
\item Je lance un dé correctement équilibré 2 fois consécutivement,
et je m'intéresse aux 6 obtenus.
\`A l'aide d'un arbre de probabilité,
compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
Evénement & Obtenir 0 six & Obtenir 1 six & Obtenir 2 six
\\\hline
Probabilité &&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\item Je lance cette fois le dé 3 fois successivement.
Compléter de m\^eme la loi de probabilité:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
Evénement: Obtenir $k$ "face"
& \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\
& \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\
\\\hline
Probabilité &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\item Je lance maintenant 60 fois ce dé.
\bgen[a)]
\item Calculer la probabilité d'obtenir 10 fois six.
\item Calculer la probabilité d'obtenir moins de 5 fois six.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Parmi toutes les maisons assurées dans une compagnie d'assurance,
20\% ont subi un sinistre l'année dernière.
\bgen
\item Je prends au hasard deux dossiers de clients.
Quelle est la probabilité que les maisons assurées de ces deux dossiers
aient subi un sinistre ?
\item Je prends au hasard 20 dossiers.
Quelle est la probabilité que 5 maisons assurées parmi
ces dossiers aient subi un sinistre ?
Quelle est la probabilité que moins de 5 maisons aient subi un sinistre ?
\enen
\enex
\section{Loi normale}
\subsection{Approximation de la loi binomiale}
\vspace{-1em}
\bgth{
Pour $n$ suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités
associées à la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ par celles de la loi
normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma)$ avec $\mu=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
}
\clearpage
\bigskip
En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par
celles de la loi normale lorsque
\ct{\fbox{$n\geqslant 30$,\quad $np\geqslant 5$\quad et\quad $nq\geqslant 5$}}.
\bgmp[t]{8cm}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=18cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4,-0.03)(25,0.3)
\rput(12,0.22){\blue$\mathcal{B}(10;0,6)$}
\rput(12,0.19){et}
\rput(12,0.16){\red$\mathcal{N}(6;1,549)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(15,0.28)
\psBinomial[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{10}{0.6}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=6,sigma=1.549]{-2}{14}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{8cm}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=20cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-7,-0.03)(19,0.25)
\rput(16,0.13){\blue$\mathcal{B}(30;0,2)$}
\rput(16,0.1){et}
\rput(16,0.07){\red$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(19,0.21)
\psBinomial[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{30}{0.2}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=6,sigma=2.19]{-2}{20}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=40cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.2,-0.02)(42,0.14)
\rput(10,0.1){\blue$\mathcal{B}(50;0,5)$}
\rput(10.4,0.085){et}
\rput(10,0.07){\red$\mathcal{N}(25;3,54)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(42,0.13)
\psBinomial[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{50}{0.5}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=25,sigma=3.54]{-2}{42}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=0.112cm,yunit=60cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-10.1,-0.01)(85,0.092)
\rput(25,0.06){\blue$\mathcal{B}(100;0,5)$}
\rput(25.5,0.05){et}
\rput(25,0.04){\red$\mathcal{N}(50;5)$}
\psaxes[Dx=10,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(85,0.09)
\psBinomial[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{100}{0.5}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=50,sigma=5]{-2}{80}
\end{pspicture}
\enmp
\bigskip
Voir aussi:
\url{https://xymaths.fr/Informatique-Programmation/Calcul/Loi-binomiale.php}
\subsection{Loi normale}
La loi normale a deux paramètre:
\bgit
\item son espérance, ou moyenne, $\mu$
\[\psset{xunit=0.3cm,yunit=40cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-0.02)(52,0.16)
%\psaxes[Dx=4,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(52,0.13)
\psline{->}(0,0)(50,0)
\psline{->}(0,0)(0,.15)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=10,sigma=3]{-2}{42}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](10,-.005)(10,.14)
\rput(10,-.01){\red $\mu=10$}
\rput(10,0.15){\large\red $\mathcal{N}(10,3)$}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=3]{-2}{42}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](20,-.005)(20,.14)
\rput(20,-.01){\blue $\mu=20$}
\rput(20,0.15){\large\blue $\mathcal{N}(20,3)$}
\psGauss[linecolor=green,linewidth=1.5pt,mue=30,sigma=3]{-2}{42}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](30,-.005)(30,.14)
\rput(30,-.01){\green $\mu=30$}
\rput(30,0.15){\large\green $\mathcal{N}(30,3)$}
\end{pspicture}\]
La courbe est "centrée en $\mu$":
plus précisément, la courbe est symétrique par rapport à la droite
d'équation $x=\mu$.
\medskip
\item son écart type $\sigma$
\[\psset{xunit=0.3cm,yunit=35cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-0.02)(52,0.18)
%\psaxes[Dx=4,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(52,0.13)
\psline{->}(0,0)(50,0)
\psline{->}(0,0)(0,.2)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=6]{-2}{42}
\rput(40,0.10){\large\red $\mathcal{N}(20,6)$}
\rput(10,0.03){\red $\sigma=6$}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=2]{-2}{42}
\psline[linestyle=dashed](20,-.005)(20,.2)
\rput(17,0.18){\blue $\sigma=2$}
\rput(20,-.01){$\mu=20$}
\rput(40,0.14){\large\blue $\mathcal{N}(20,2)$}
\psGauss[linecolor=green,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=3]{-2}{42}
\rput(15.2,0.09){\green $\sigma=3$}
\rput(40,0.12){\large\green $\mathcal{N}(30,3)$}
\end{pspicture}\]
\enit
Le calcul de probabilité avec la loi normale,
comme pour la loi binomiale, peut se faire avec une calculatrice
ou un ordinateur.
\bgex Identifier sur le graphique suivant les courbes des lois
$\mathcal{N}(20;5)$,
$\mathcal{N}(10;4)$,
$\mathcal{N}(32;2,5)$ et
$\mathcal{N}(20;3)$.
\[\psset{xunit=0.3cm,yunit=40cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-0.004)(52,0.14)
\psaxes[Dx=4,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(52,0.14)
%\psline{->}(0,0)(50,0)\psline{->}(0,0)(0,.22)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=10,sigma=4]{-2}{42}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=5]{-2}{42}
\psGauss[linecolor=green,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=3]{-2}{42}
\psGauss[linecolor=black,linewidth=1.5pt,mue=32,sigma=3.5]{-2}{42}
\end{pspicture}\]
\enex
\bigskip
La probabilité associée à la loi normale normale est l'aire sous la courbe: \\
\bgmp[t]{7.cm}
\[\psset{xunit=0.19cm,yunit=40cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(2,-0.004)(40,0.075)
\psline{->}(2,0)(38,0)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]{
\psGauss[mue=20,sigma=5]{12}{24}
\psline(24,0)(12,0)
}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=5]{2}{36}
\psline[linestyle=dashed](12,-.003)(12,.022)\rput(12,-0.01){$a$}
\psline[linestyle=dashed](24,-.003)(24,.058)\rput(24,-0.01){$b$}
\rput[l](9.5,0.038){$P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgmp[t]{7cm}
\[\psset{xunit=0.19cm,yunit=40cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(2,-0.004)(40,0.075)
\psline{->}(2,0)(38,0)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]{
\psGauss[mue=20,sigma=5]{0}{24}
\psline(24,0)(0,0)
}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=5]{2}{36}
\psline[linestyle=dashed](24,-.003)(24,.058)\rput(24,-0.01){$b$}
\rput[l](13.2,0.022){$P\lp X\leqslant b\rp$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgmp[t]{7cm}
\[\psset{xunit=0.19cm,yunit=40cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(2,-0.004)(40,0.075)
\psline{->}(2,0)(38,0)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]{
\psGauss[mue=20,sigma=5]{16}{36}
\psline(36,0)(16,0)
}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=20,sigma=5]{2}{36}
\psline[linestyle=dashed](16,-.003)(16,.058)\rput(16,-0.01){$a$}
\rput[l](17.4,0.022){$P\lp X\geqslant a\rp$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\medskip
\bgex
On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale
$\mathcal{N}(10;2)$.
Représenter graphiquement et donner les probabilités: \\[.4em]
a) $P(X\leqslant 10)$ \qquad
b) $P(X\geqslant 10)$ \qquad
c) $P(X\leqslant 6)$ \qquad
d) $P(8\leqslant X\leqslant 12)$ \qquad
e) $P(6\leqslant X\leqslant 14)$
\enex
\vspace{1.2em}
\noindent\bgmp[b]{7.2cm}
Des valeurs à conna\^itre:
\bgen[$\bullet$]
\item L'aire sous toute la courbe vaut 1
\item $P\lp X\leqslant\mu\rp=P\lp X\geqslant\mu\rp=0,5$
\item $P\lp\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma\rp\simeq 0,68$
\medskip
\item $P\lp\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant\mu+2\sigma\rp\simeq 0,95$
\medskip
\item $P\lp\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant\mu+3\sigma\rp\simeq 0,997$
\enen
\enmp
\bgmp[m]{10cm}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.04)(5,0.3)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]
{\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-1}{1}
\psline(1,0)(-1,0)}
\rput(1,-0.04){$\sigma$}\psline(1,-0.01)(1,0.01)
\rput(2,-0.04){$2\sigma$}\psline(2,-0.01)(2,0.01)
\rput(3,-0.04){$3\sigma$}\psline(3,-0.01)(3,0.01)
\rput(-1,-0.04){$-\sigma$}\psline(-1,-0.01)(-1,0.01)
\rput(-2,-0.04){$-2\sigma$}\psline(-2,-0.01)(-2,0.01)
\rput(-3,-0.04){$-3\sigma$}\psline(-3,-0.01)(-3,0.01)
%\uput{0}[0]{90}(0.5,0.2){$P(0<X<\sigma)\simeq 34,1\%$}
\rput(0.5,0.15){$34\%$}\rput(-0.5,0.15){$34\%$}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-2}{-1}
\psline(-1,0)(-2,0)}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{2}{1}
\psline(1,0)(2,0)}
\rput(-1.45,0.04){$14\%$}\rput(1.45,0.04){$14\%$}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
{\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-3}{-2}
\psline(-2,0)(-3,0)}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
{\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{3}{2}
\psline(2,0)(3,0)}
%
\rput(-2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}\rput(2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}
\rput(-3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}\rput(3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}
\psaxes[Dx=10,Dy=10.5,dy=10.5](0,0)(-5,0)(5,0.45)
\rput(0,-0.04){$\mu$}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\end{pspicture}
\enmp
\bigskip
\bgex
On considère la loi $\mathcal{N}(20;2)$.
Sans calculatrice (mais vérifier avec\dots),
donner les probabilités \\[.5em]
a) $P\lp X\leqslant20\rp$ \qquad
b) $P\lp 18\leqslant X\leqslant22\rp$ \qquad
c) $P\lp 16\leqslant X\leqslant24\rp$ \qquad
d) $P\lp X\leqslant16\rp$ \qquad
e) $P\lp X\geqslant24\rp$ \qquad
\enex
\bgex
Une variable aléatoire sur la loi normale $\mathcal{N}(6;3)$.
On donne de plus $P(X\leqslant3)=0,1587$
et $P(X\leqslant4)=0,2525$.
Donner sans calculatrice (mais vérifier après avec\dots )
les probabilités
$P(X\geqslant3)$ et $P(3\leqslant X\leqslant4)$.
\enex
\bgex
Un modèle d'écran tactile, conçu et produit par une certaine marque,
a une durée de vie annoncée de 4 ans.
En fait la durée de vie de ces écrans peut \^etre modélisée par une variable
aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance 4 ans et d'écart type 1 an.
J'ai un téléphone sur lequel se trouve un écran de ce modèle.
\bgen[a)]
\item Déterminer la probabilité pour qu'il ne tombe pas en panne avant 4 ans.
\item Déterminer la probabilité qu'il tombe en panne moins de 2 ans
après l'avoir acheté.
\item Déterminer la probabilité qu'il tombe en panne moins de 1 an
après l'avoir acheté.
\item Déterminer la probabilité qu'il fonctionne correctement pendant au moins 8 ans.
\enen
\enex
\bgex
Une entreprise produit des cylindres de diamètre 32 mm.
Des mesures effectuées montrent que le diamètre de ces cylindres correspond
à une variable aléatorie $Y$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(32;0,4)$.
Dans la cha\^ine de production et de montage, les cylindres dont le diamètre
est inférieur à 30,5 mm et ceux dont le diamètre est supérieur à 33 mm sont
inutilisables par la suite, et doivent donc \^etre mis au rebut.
\bgen[a)]
\item Calculer la probabilité pour qu'un cylindre ne soit pas mis au rebut.
\item L'entreprise produit 10\,000 cylindres par jour.
Quel nombre en jette-t'elle chaque jour ?
\enen
\enex
\bgex
Une entreprise commercialise des batteries miniatures dont l'autonomie
correspond à une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale
d'espérance $\mu=12$ heures et d'écart type $\sigma=2$ heures.
Calculer la probabilité qu'une batterie, prise au hasard, ait une autonomie:\\[.4em]
a) inférieure ou égale à 8 heures \qquad
b) inférieure ou égale à 16 heures \\[.3em]
c) supérieure ou égale à 8 heures \qquad
d) comprise entre 8 heures et 16 heures
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale
$\mathcal{N}(30;2)$.
Donner la probabilité $P(26\leqslant X\leqslant 34)$.
\enex
\bgprop{L'intervalle $\lb\, \mu-2\sigma\ ;\ \mu+2\sigma\, \rb$
est l'intervalle de fluctuation à 95\% de la variable aléatoire
qui suit la loi normale $\mathcal{N}\lp\mu,\sigma\rp$:
dans 95\% des cas, la variable aléatoire prend une valeur dans cet intervalle.}
\label{LastPage}
\end{document}
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