Exercice type Bac
Suite, logarithme, limites
L'objectif de ce problème est l'étude de la suite



- Question de cours.
Déterminer la limite:
.
- Etude d'une fonction auxiliaire.
On considère la fonction
définie sur
par l'expression
- Déterminer la dérivée
de la fonction
.
- Déterminer la limite en
et en
de
.
- Démontrer que la dérivée
de la fonction
s'écrit
. En déduire alors le sens de variation de la fonction
.
- Déduire des questions précédentes le signe de
et le sens de variation de la fonction
.
- On pose
. Donner l'expression de
, puis la limite
.
En déduire. Interpréter graphiquement ce résultat.
- En utilisant les résultats précédents,
tracer l'allure de la courbe
représentative de la fonction
.
- Déterminer la dérivée
- Etude de la suite
.
- Exprimer le terme général
, pour
un entier naturel non nul, à l'aide de la fonction
.
- En déduire le sens de variation de la suite
ainsi que sa limite.
- Exprimer le terme général
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