Source Latex: Exercices de mathématiques

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Description

Exercices de mathématiques: réviser et approfondir son année de terminale, et préparer son entrée en prépa, CPGE

Niveau

Terminale S

Mots clé

prépa, calcul algébrique, démonstration par récurrence, somme

Quelques devoirs

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

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\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices: de la terminale vers une prépa},
    pdftitle={Exercices: de la terminale vers une prépa},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, prépa}
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\hypersetup{
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
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    urlcolor = red
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\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{%
  \vspt\noindent%
  \ul{Démonstration:} #1%
  \hfill$\square$%
}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
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\topmargin=-1.2cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

%\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
%\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Réviser, approfondir son année de terminale}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE{} - $T^{\text{ale}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}\hfill

\medskip
\ct{\large\bf et préparer son entrée en prépa (et/ou ailleurs aussi)}

\bigskip
\ct{\large\bf Partie I: du calcul}
\bigskip

\section{Calcul numérique et algébrique général}

Tous les calculs doivent \^etre simplifiés. M\^eme si "simple" et "simplifié" (ou non) sont assez subjectifs, quelques règles pour les exercices qui suivent (et ensuite toute votre vie mathématique...) 

\begin{itemize}
\item on factorise \textbf{toujours}, \textbf{le plus possible}

  par exemple: $3x^7+6ax^2+12x=3x\lp x^6+2ax+4\rp$

\item on utilise le moins de fractions possible (on réduit les sommes de plusieurs fractions en utilisant un dénominateur commun), et avec un trait de fraction le plus court possible, 

  par exemple: $\dfrac{3x+7a^2+3}{2}-\dfrac{2x+5}{3}=\dfrac16\lp5x+21a^2-1\rp$
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Tous} les calculs suivants doivent \^etre considérés comme \textbf{faciles}. "Facile" est l\`a aussi subjectif, certes ... Cela ne signifie pas forcément que le résultat peut, ou doit, \^etre vu de t\^ete, en un coup d'\oe il, ... mais que armé d'une feuille et d'un stylo, il est facile de mener les calculs jusqu'au bout, \textbf{sans se poser de question de méthode, ni faire d'erreur}. 

\bigskip

\bgex
On pose $f(x)=x\dfrac{x^{10}-1}{x-1}$. Présenter sous la forme la plus simple 
$f(2)$, $f(3)$, $f\lp\dfrac1x\rp$, $f(-x)$, $f\lp\dfrac32\rp$. 
\enex



\bgex Simplifier: \\
$A=\dfrac{\dfrac13+3}{\dfrac16+6}$ \qquad
$B=3\tm\dfrac{2+\dfrac12}{2-\dfrac12}$ \qquad
$C=2\tm\dfrac{\dfrac{7}{2}+1}{\dfrac34-5}-\dfrac53$ \qquad
$D(x)=3+\dfrac{6}{x+2}$ \qquad
$E=\dfrac{\dfrac3{10}\tm\dfrac{15}{\dfrac92}}{\dfrac9{15}\tm\dfrac52}$
\\
$F(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ \qquad
$G(x)=\dfrac{7}{x^2+3}-1$  \qquad
$H(x)=-2-\dfrac{3x-1}{x-2}$ \qquad
$I(x)=\dfrac{\dfrac{3x}{2}-5}{\dfrac{x}{3}+3}$\qquad
$J=\dfrac{\dfrac{a^2}{3b}}{\dfrac{ac}{6b}}$\qquad 
$K(x)=2x-1+\dfrac{3x}{2x-1}$ \qquad
$L(x)=-x+2-\dfrac13\tm\dfrac{2x}{x+2}$\qquad
$M=\lp\sqrt{12}-\sqrt3\rp^2$ 
\\
$N=\lp3\sqrt2\rp^2-\lp\sqrt2-1\rp^2$ \qquad
$N'=\lp\sqrt{7-4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\rp^2$ \qquad 
$P=\dfrac{\lp1-\sqrt3\rp^2}{2-\sqrt3}$ 
\\
$Q=\dfrac{3\sqrt2-2\sqrt3}{\sqrt6}$ \qquad
$R=3-\dfrac{3+2\sqrt3}{\sqrt3}$ \qquad
$S=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}+5}{\sqrt{3}-\dfrac12}$ \qquad
$T=\dfrac{1}{\sqrt2-1}-\dfrac{1}{\sqrt2+1}$ 
\\
$U=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$\qquad
$V=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}-\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$\qquad
$W=\dfrac{\dfrac1{1+\dfrac1{1+\frac12}}}{\dfrac1{1+\dfrac1{1-\frac12}}}$\qquad
$X=\dfrac{2+\dfrac{2+a}{2-a}}{2-\dfrac{2+a}{2-a}}$
\enex




\section{Récurrence}

\bgex
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, 
(les trois premières sommes sont à conna\^itre par c\oe ur)
\bgen[a)]
\item $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$
\item $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$
\item $1+a+a^2+a^3+\dots+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$, pour $a\not=1$
\item $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\lp\dfrac{n(n+1)}2\rp^2$
\item $n^3-n$ est multiple de 3
\item On pose $u_0=1$ et $u_1=-1$, puis 
  $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ pour tout entier $n$. \\
  Montrer que $u_n=(-1)^n$. 
\item On pose $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=-\dfrac1{n+1}\dsp\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k}$. \\
  Montrer que $u_n=(-1)^n$. 
\enen 
\enex


\section{Sommes}

\bgex
Donner une expression simplifiée (et sans somme) de la somme des entiers impairs
\[S_n=\sum_{k=1}^n(2k-1)\]
\enex


\bgex
On pose, pour tout entier $n$ non nul, 
$\dsp u_n=\sum_{k=n}^{2n}\dfrac1k$. \\
\'Etudier le sens de variation de $(u_n)$. 
\enex

\bgex
On note $H_n$ la somme harmonique, pour $n\geqslant1$, 
$\dsp H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1k$. \\
Montrer que, pour tout entier $n\geqslant2$, 
\[\sum_{k=1}^{n-1}H_k=nH_n-n\]
\enex


\bgex
En utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique et la dérivation, 
calculer, pour $x$ réel et $n\in\N^*$, 
\[S(x)=\sum_{k=0}^nkx^k\]
\enex


\bgex
Montrer que, pour tout réel $x>0$, on a 
$\dfrac1{x(x+1)}=\dfrac1x-\dfrac1{x+1}$. 

En déduire une expression de la somme 
\[S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{k(k+1)}\]
et la limite de cette somme lorsque $n\to+\infty$. 
\enex


\bgex
Simplifier le produit 
\[P_n=\prod_{k=2}^n\lp1-\dfrac1k\rp\]
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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