Source Latex
de la correction du devoir
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\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=15pt
\textheight=27.8cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=19.cm
\oddsidemargin=-2.2cm
\voffset=-0.6cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir commun de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
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%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.8cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)]
\bgmp[t]{11.8cm}
$g$ est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction
affine, d�rivables sur $\R$, donc $g$ est d�rivable sur
$\R$ avec,
$g'(x)=e^x-1$
$\dsp g'(x)\geq0\iff e^x-1\geq0\iff e^X\geq1\iff x\geq0$
On d�duit du tableau de variation que,
\ul{pour tout $x\in\R$, $g(x)\geq0$.}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{7cm}\vspace{-0.9cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline
$g'x)$ && $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
&&&&&\\
$g(x)$ && \large{$\searrow$}&&\large{$\nearrow$}&\\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
\item[b)] D'apr�s ce qui pr�c�de, pour tout $x\in\R$,
$g(x)\geq 0 \iff e^x-x-1\geq 0\iff e^x-x\geq1>0$,
et donc, \ul{pour tout $x\in\R$, $e^x-x>0$}.
\enit
\vsp
\item[2.]
\bgit
\item[a),b)] \ul{En $+\infty$:}
$f(x)=\dfrac{x}{e^x\lp 1-\dfrac{x}{e^x}\rp}$,
or $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$,
donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$,
et, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x\lp 1-\dfrac{x}{e^x}\rp}
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$,
donc, \ul{$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$: la droite
$y=0$ est asymptote � $\Cf$ en $+\infty$.}
\ul{En $-\infty$:} $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$;
on factorise donc par $x$ dans $f(x)$:
$f(x)=\dfrac{x}{x\lp \dfrac{e^x}{x}-1\rp}
=\dfrac{1}{\lp \dfrac{e^x}{x}-1\rp}$,
\vspace{-0.1cm}
or, $\dsp\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^x}{x}=0$,
d'o�, \ul{$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$: la droite d'�quation
$y=-1$ est asymptote � $\Cf$ en $-\infty$.}
\enit
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)]
\bgmp[t]{10.5cm}
$f$ est le quotient des fonctions $u:x\mapsto x$ et
$v:x\mapsto e^x-x$ d�rivables sur $\R$, et
dont le d�nominateur $v(x)=e^x-x$ ne s'annule pa sur $\R$, d'apr�s la
question b).
$f$ est donc d�rivable sur $\R$, avec:
\vspace{-0.8cm}
\[
f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ \mbox{ soit, }
f'(x)=\frac{(e^x-x)-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}
=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}
\]
\vspace{-0.6cm}
\item[c)] $(T)$ a pour �quation: $y=f'(0)(x-0)+f(0)$,
avec $f'(0)=1$ et $f(0)=0$,
d'o� l'�quation, \ul{$(T): y=x$}.
\enmp\hspace{0.7cm}
\bgmp[t]{5cm}
\item[b)] \
\vspace*{-0.6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && $+\infty$ \\\hline
$e^x$ && $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$1-x$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
$(e^x-x)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
&&&$\frac{1}{e-1}$&& \\
$f(x)$ && \large{$\nearrow$} && \large{$\searrow$} & \\
&$-1$&&&&$0$\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enit
\enit
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] $\dsp\lim_{x\to-\infty}(1-2x)=+\infty$, et donc,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1-2x}=+\infty$.
De plus, $\dsp\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$,
d'o�,
\ul{$\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}\lp x^3-\sqrt{1-2x}\rp=-\infty$}.
\item[b)] $g$ est la est la diff�rence de la fonction cube
$u:x\mapsto x^3$ qui est d�rivable sur $\R$, et de la fonction
$x\mapsto\sqrt{1-2x}$ compos�e des fonctions racine carr�e
$v:x\mapsto \sqrt{x}$ et affine $w:x\mapsto 1-2x$:
$g(x)=u(x)-v(w(x))$.
La fonction affine $w$ est d�rivable sur $R$ et la fonction racine
carr� $v$ est d�rivable sur $\R_+^*$. On doit donc avoir
$w(x)>0\iff 1-2x>0\iff x<\frac{1}{2}$.
Ainsi, \ul{$g$ est d�rivable sur $]-\infty;\frac{1}{2}[$}.
$\dsp g'(x)=u'(x)-w'(x)\tm v'(w(x))=
3x^2-(-2)\tm\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}=3x^2+\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}$.
\enit
\vspd
\item[c)]
\bgmp[t]{11cm}
Pour tout $x<\frac{1}{2}$, $3x^2\geq 0$, et
$\sqrt{1-2x}>0$, d'o�, $g'(x)>0$.
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}\vspace{-0.4cm}
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\frac{1}{2}$ \\\hline
$g'(x)$ && $+$ & \\\hline
&&& $\frac{1}{8}$ \\
$g(x)$ && \large{$\nearrow$} & \\
&$-\infty$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspace{-1.8cm}
\item[2.]
\bgit
\item[a)]
$(E_1)\ x^3=\sqrt{1-2x} \iff x^3-\sqrt{1-2x}=0 \iff g(x)=0$
\bgit
\item[$\bullet$]
$g$ est d�rivable sur $]-\infty;\frac{1}{2}[$, donc continue
sur $]-\infty;\frac{1}{2}[$
\item[$\bullet$] $g$ est strictement croissante sur
$]-\infty;\frac{1}{2}[$
\item[$\bullet$] $g(\frac{1}{2}=\frac{1}{8}>0$ et
$\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$
\enit
on en d�duit donc, d'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires
qu'il existe un unique $\alpha\in]-\infty;\frac{1}{2}[$ tel que
$g(\alpha)=0$, donc une unique solution $\alpha$ de $(E_1)$.
\item[b)]
La calculatrice donne $g(0,492)\simeq -7\tm 10^{-3}<0$
et $g(0,493)\simeq 1,5\tm10^{-3}>0$,
donc, \ul{$0,492<\alpha<0,493$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] $(z-2)(z^2+az+b)=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z-2b$.
Ce polyn�me est �gal � celui propos� si et seulement si il a les
m�me coefficients, soit
$\la\bgar{l}
a-2=4 \\
b-2a=2\\
-2b=-28
\enar\right.
\iff
\la \bgar{l}
a=6\\
b=14
\enar\right.$
\ \ d'ou, \ul{$z^3+4z^2+2z-28=(z-2)(z^2+6z+14)$}.
\item[b)] Le trin�me du second degr� $z^2+6z+14$ a pour discriminant
$\Delta=36-56=-20<0$.
Ce trin�me admet donc deux racines complexes conjugu�es:
$z=\frac{-6-i\sqrt{20}}{2}=-3-i\sqrt{5}$
et $\overline{z}=-3+i\sqrt{5}$.
Au final, \ul{$(E)$ a pour solutions:
$\la 2; -3-i\sqrt{5};-3+i\sqrt{5} \ra$}.
\enit
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Soit $M=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$, alors,
$M\in(H) \iff z^2-4=4-\overline{z}^2
\iff (x+iy)^2-4=4-(x-iy)^2$
soit,
$M\in(H)
\iff x^2+2ixy-y^2-4=4-(x^2-2ixy-y^2)
\iff 2x^2-2y^2=8
\iff x^2-y^2=4
$
\item[b)] $z_A=2$, et $2^2-0^2=4$, donc \ul{$A\in (H)$}.
$z_B=-3-i\sqrt{5}$, et $(-3)^2-(-\sqrt{5})^2=9-5=4$, donc
\ul{$B\in(H)$}.
$z_C=-3+i\sqrt{5}$, et $(-3)^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$, donc
\ul{$C\in(H)$}.
\enit
\enit
\enex
\vspace{-0.1cm}
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a) b)]
\bgmp[t]{12cm}
$f$ est la somme de la fonction $x\mapsto x$ qui est
d�rivable sur $\R$, et de la fonction inverse $x\mapsto
\frac{2}{x}$ qui est d�rivable sur $\R^*$.
Donc $f$ est d�rivable sur $\R^*$, donc aussi sur $]0;+\infty[$,
avec
$\dsp f'(x)=\frac{1}{2}\lp 1-\frac{2}{x^2}\rp=2\frac{x^2-2}{x^2}
=\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{2x^2}$.
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}\vspace{-0.8cm}
\begin{tabular}{|c|*5{p{0.3cm}}|}\hline
$x$ & 0 && $\sqrt{2}$ && $\!\!\!\!+\infty$ \\\hline
$(x^2-2)$ && $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
$f'(x)$ & \db & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&$\,+\infty$&&&&$\!\!\!\!+\infty$ \\
$f(x)$ &\psline(0,-0.6)(0,0.7)\psline(0.07,-0.6)(0.07,0.7)
& \large{$\searrow$} && \large{$\nearrow$} &\\
&&&$\sqrt{2}$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\psset{xunit=2.5cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.3)(10,4.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-0.3)(0,4.2)
\multido{\i=1+1}{4}{
\psline[linestyle=dashed](-0.1,\i)(4.8,\i)
\psline[linestyle=dashed](\i,-0.1)(\i,4.2)
}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.25}{5}{
x 2 x div add 2 div
}\rput(4.8,2.8){$\Cf$}
\psline{<->}(0.4,1.414)(2.6,1.414)
% Termes de la suite:
\psplot[linewidth=1pt]{-0.2}{4.2}{x}
\rput(3.5,3.8){$y=x$}
\psline(0.5,0)(0.5,2.25)(0,2.25)(2.25,2.25)(2.25,0)
\psline(2.25,1.57)(0,1.57)(1.57,1.57)(1.57,0)
\psline(1.57,1.43)(0,1.43)(1.43,1.43)(1.43,0)
\rput(0.5,-0.2){$A_0$}\rput(-0.5,2.25){$u_1=f(u_0)$}
\rput(2.25,-0.2){$A_1$}\rput(-0.5,1.6){$u_2=f(u_1)$}
\rput(1.6,-0.2){$A_2$}\rput(-0.5,1.4){$u_3=f(u_2)$}
\rput(1.4,-0.2){$A_3$}
\end{pspicture}
\enit
\item[2.]
\bgit
\item[a)] D�montrons par r�currence que pour tout entier non nul
$n$,
la propri�t� $P(n)$: "$u_n\geq \sqrt{2}$" est vraie.
\ul{Initialisation:}
$u_1=f(u_0)=f(\frac{1}{2}
=\frac{1}{2}\lp \frac{1}{2}+\frac{2}{\frac{1}{2}}\rp
=\frac{9}{4}>2>\sqrt{2}$
Donc, \ul{$P(0)$ est vraie}.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que $P(n)$ soit vraie p�ur un certain
entier $n$, c'est-�-dire que
$u_n\geq \sqrt{2}$.
Alors, d'apr�s 1), $f(u_n)\geq \sqrt{2}$,
soit aussi $u_n{n+1}=f(u_n)\geq \sqrt{2}$.
On en d�duit donc que \ul{$P(n+1)$ est encore vraie}.
\vspd
Finalement, on a d�montr�, d'apr�s le principe de r�currence,
que \ul{pour tout entier non nul $n$, $u_n\geq \sqrt{2}$}.
\item[b)] Soit $g(x)=f(x)-x$, alors $g$ est d�rivable sur
$]0;+\infty[$ de la m�me fa�on que $f$, et,
$\dsp g'(x)=f'(x)-1=\frac{x^2-1}{2x^2}-1
= \frac{-x^2-1}{2x^2}<0$.
On en d�duit donc que $g$est strictement d�croissante sur
$[\sqrt{2};+\infty[$.
De plus,
$g(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$.
Ainsi, \ul{pour tout $x\geq\sqrt{2}$, $g(x)\leq 0 \iff f(x)\leq x$}.
\vsp
\item[c)] D'apr�s ce qui pr�c�de, on a, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=f(u_n)\leq u_n$, c'est-�-dire que
\ul{$(u_n)$ est d�croissante}.
\vsp
\item[d)] D'apr�s les questions pr�c�dentes, on sait que
$(u_n)$ est d�croissante et que pour tout entier non nul $n$,
$u_n\geq \sqrt{2}$, c'est-�-dire que $(u_n)$ est
minor�e par $\sqrt{2}$.
On en d�duit que \ul{$(u_n)$ est convergente}.
\enit
\vspd
\item[3.] Soit $l$ la limite de $(u_n)$, alors, comme $f$ est continue
sur $R^*_+$, d'apr�s le th�or�me du point fixe, on a
$f(l)=l$, soit l'�quation,
$l=\frac{1}{2}\lp l+\frac{2}{l}\rp
\iff 2l^2=l^2+2
\iff l^2=2 \iff l=\sqrt{2} \mbox{ ou } l=-\sqrt{2}
$.
Comme on sait de plus que pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq \sqrt{2}>0$,
la limite $l=-\sqrt{2}<0$ est impossible.
On en d�duit donc que \ul{$l=\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{2}$}.
\enit
\enex
\end{document}
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