Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques

Fichier

Type: Corrigé de devoir

File type: Latex, tex (source)

Télécharger le document pdf compilé

Description

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S - Suites récurrentes et fonctions, annales de Bac S (Amérique du Nord 2005, métropole 2007, La Réunion 2008).

Niveau

Terminale S

Mots clé

Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, asymptote, suites, étude de fonctions

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

Source Latex

Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{pslatex}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{pstricks-add}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\def\Cg{\mathcal{C}_g}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0pt
\textheight=27.8cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=19.6cm
\oddsidemargin=-2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
%\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}

%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}

\bgex {\it (Baccalaur�at Am�rique du nord, juin 2005)}

1. %\vspace{-0.7cm}
  \bgmp[t]{12cm}
  La fonction $f$ est une fonction rationnelle, d�finie,
  continue et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$, donc aussi sur 
  $[0;2]$, et 

  \vspd
  pour tout $x\in[0;2]$, 
  $\dsp f'(x)=\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}>0$. 
  \enmp\hspace{0.5cm}
  \bgmp[t]{3cm}\vspace{-0.8cm}
  \begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
    $x$ & $0$ && $2$ \\\hline
    $f'(x)$ && $+$ & \\\hline
    &&&$\frac{5}{3}$ \\
    $f$ &&\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.4,-0.4)(0.5,0.5)& \\
    &1&& \\\hline
  \end{tabular}
  \enmp

  $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;2]$, donc sur
  $[1;2]$, avec de plus $\dsp f(1)=\frac{3}{2}$ et $\dsp
  f(2)=\frac{5}{2}$. 

  On en d�duit que pour tout 
  $x\in[1;2]$, $\dsp 1<\frac{3}{2}\leq f(x)\leq \frac{5}{2}<2$, soit 
  \ul{pour tout $x\in[1;2]$, $f(x)\in[1;2]$}.
  \vspd
\bgit
  \item[2.\ a)] 

    \bgmp{8cm}
    \psset{xunit=3cm,yunit=2.5cm}
    \begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(3,1.8)
      \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.2,0)(2.5,0)
      \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-0.2)(0,2)

      \nwc{\f}[1]{2 #1 mul 1 add #1 1 add div}

      \psplot[linewidth=1.2pt]{0}{2}{\f{x}}%2 x mul 1 add x 1 add div}
      \put(6.2,4.2){$\Cf$}
      \psplot[linewidth=1pt]{-0.2}{2.}{x}

      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](1,0)(!1 \space \f{1})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{1})(!\f{1} \space \f{1})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{1} \space 0)(!\f{1} \space \f{\f{1}})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{\f{1}})(!\f{\f{1}} \space \f{\f{1}})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{\f{1}} \space 0)(!\f{\f{1}} \space \f{\f{1}})
      \put(2.8,-0.4){$\scriptstyle u_0$}
      \put(4.,-0.4){$\scriptstyle u_1$}
      \put(4.6,-0.4){$\scriptstyle u_2$}

      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2,0)(!2 \space \f{2})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{2})(!2 \space \f{2})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{2} \space 0)(!\f{2} \space \f{\f{2}})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{\f{2}})(!\f{\f{2}} \space \f{\f{2}})
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{\f{2}} \space 0)(!\f{\f{2}} \space \f{\f{2}})
      \put(6,-0.2){$\scriptstyle v_0$}
      \put(5.1,-0.2){$\scriptstyle v_1$}
      \put(4.8,-0.2){$\scriptstyle v_2$}

    \end{pspicture}
  \enmp
  \bgmp{8cm}
  A partir de ce graphique, on peut conjecturer que $(u_n)$ est
  croissante et $(v_n)$ d�croissante, et que ces deux suites
  convergent vers le point fixe $l$ de $f$: $f(l)=l$. 

  En d'autres termes, on peut conjecturer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  \enmp

  \item[b)] 
    $\bullet\ $\ul{Montrons par r�currence que pour tout $n\in\N$, $1\leq v_n\leq2$:}
    
    \ul{Initialisation:} $v_0=2$, donc $1\leq v_0\leq 2$. 
    La propri�t� est vraie pour $n=0$. 

    \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$, 
    $1\leq v_n\leq 2$. 

    Alors, d'apr�s 1., $v_{n+1}=f(v_n)\in[1;2]$, et donc la propri�t�
    est vraie aussi au rang $n+1$. 

    \vsp
    Finalement, d'apr�s le principe de r�currence, 
    \ul{pour tout entier $n\in\N$, $1\leq v_n\leq 2$}.

    \vspd
    $\bullet\ $\ul{Montrons par r�currence que pour tout $n\in\N$, $v_{n+1}\leq v_n$:}
    
    \ul{Initialisation:} $v_0=2$ et $v_1=f(v_0)=f(2)=\frac{5}{3}$,
    donc $v_1\leq v_0$, et la propri�t� est vraie pour $n=0$. 

    \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$, 
    $v_{n+1}\leq v_n$. 

    Alors, comme d'apr�s ce qui pr�c�de, pour tout entier $n$,
    $v_n\in[1;2]$ et que d'apr�s 1. $f$ est croissante sur $[1;2]$, 
    $f(v_{n+1})\leq f(v_n)$, c'est-�-dire 
    $v_{n+1} \leq v_{n+1}$, et la propri�t� est encore vraie au rang
    $n+1$. 

    \vsp
    Finalement, d'apr�s le principe de r�currence, 
    \ul{pour tout entier $n\in\N$, $v_{n+1}\leq v_n$}.

    \vspd
  \item[c)] Pour tout entier $n$, 
    $\bgar[t]{ll}\dsp
    v_{n+1}-u_{n+1}
    &\dsp=f(v_n)-f(u_n)
    =\frac{2v_n+1}{v_n+1}-\frac{2u_n+1}{u_n+1}\vspd\\
    &\dsp=\frac{(2v_n+1)(u_n+1)-(2u_n+1)(v_n+1)}{(u_n+1)(v_n+1)}
    =\frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)}
    \enar$.

    \vspd
    On en d�duit, par r�currence que pour tout entier $n$,
    $v_n-u_n\geq 0$: 

    \ul{Initialisation:} $v_0-u_0=2-1=1\geq 0$, donc la propri�t� est
    vraie au rang $0$. 

    \ul{H�r�dit�:} Supposons que $v_n-u_n\geq 0$, alors, comme 
    $\dsp v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)}$, 
    et $u_n+1>0$ et $v_n+1>0$, on end d�duit que $v_{n+1}-u_{n+1}$
    est aussi positif, c'est-�-dire que la propri�t� est encore vraie
    au rang $n+1$. 

    \vsp
    Finalement, d'apr�s le principe de r�currence, 
    \ul{pour tout entier $n$, $v_n-u_n\geq 0$}.

    \vspd
    De plus, d'apr�s 2.b), pour tout entier $n$, 
    $1\leq u_n\leq 2$ et $1\leq v_n\leq 2$, 
    d'o�, $4\leq (u_n+1)(v_n+1)\leq 9$. 

    Ainsi, 
    $\dsp\frac{v_n-u_n}{9} \leq \frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)} \leq \frac{v_n-u_n}{4}$, 

    soit, 
    \ul{pour tout entier $n$, $\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)$}.

    \vspd
  \item[d)] 
    Montrons par r�currence que pour tout entier $n$, $\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$.
    
    \ul{Initialisation:} $v_0-u_0=2-1=1=\lp\frac{1}{4}\rp^0$, donc la
    propri�t� est vraie au rang $0$. 

    \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$, 
    $\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$, 
    alors, on en d�duit d'apr�s 2.c) que, 
    $\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)\leq
    \frac{1}{4}\lp\frac{1}{4}\rp^n=\lp\frac{1}{4}\rp^{n+1}$, et ainsi
    la propri�t� est encore vraie au rang $n+1$. 
    Finalement, d'apr�s le principe de r�currence, 
    \ul{pour tout entier $n$, $\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$}.

    \vspd
  \item[e)] D'apr�s 2.b), on sait que $(v_n)$ est d�croissante et que
    $(u_n)$ est d�croissante. 

    De plus, d'apr�s la question pr�c�dente, on sait que pour tout
    entier $n$, $\dsp 0\leq v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$. 

    Comme $\dsp \lim_{n\to+\infty} \lp\frac{1}{4}\rp^n=0$, on en
    d�duit, d'apr�s le th�or�me des gendarmes que 
    \mbox{$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp v_n-u_n\rp=0$.} 

    \vsp 
    Finalement, \ul{les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes}, 
    et \ul{elles convergent donc vers une m�me limite $\alpha$}.

    \vspd
    De plus, comme pour tout entier $n$, $1\leq u_n\leq 2$, on sait
    aussi que $\alpha\in[1;2]$. 
    $f$ �tant continue sur $[1;2]$, on sait d'apr�s le th�or�me du
    point fixe que $(u_n)$ converge vers $\alpha$ tel que
    $f(\alpha)=\alpha$, soit 

    $\dsp f(\alpha)=\alpha \Longleftrightarrow
    \frac{2\alpha+1}{\alpha+1}=\alpha
    \Longleftrightarrow \alpha^2-\alpha-1=0
    \Longleftrightarrow \alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \mbox{ ou, } \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

    Comme la premi�re racine est n�gative et que $\alpha\in[1;2]$, 
    on en d�duit que \ul{$\dsp\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}.
  \enit
\enex

\vspace{-0.2cm}
\bgex
\bgit
\item[1.] Pour avoir une tangente commune, les courbes $\Cf$ et $\Cg$
  doivent d�j� avoir un point commun. 

  Si $M(x;y)$ est un point de $\Cf$ et de $Cg$, 
  $M(x;y)\in \Cf\cap\Cg$, alors, 
  $y=f(x)=g(x)$. 

  \vsp
  $\bgar{ll}
  f(x)=g(x) &\dsp\Longleftrightarrow x^2-x+4=6-\frac{4}{x+1} \\
  &\dsp\Longleftrightarrow (x^2-x+4)(x+1)=6(x+1)-4 
  \Longleftrightarrow x^3-3x+2=0
  \enar$

  Soit $P(x)=x^3-3x+2$; $x=1$ est une racine �vidente de $P$, 
  et donc $P$ se factorise par $(x-1)$: 
  $P(x)=(x-1)(x^2+x-2)$. 

  $x=1$ est aussi une racine �vidente du trin�me du second degr�
  $x^2+x-2$, dont la deuxi�me racine est donc $x=-2$ (car le produit
  des racines vaut $\frac{c}{a}=-2$). 

  On en d�duit donc que $P(x)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)$, et 
  donc 
  
  $P(x)=0\Longleftrightarrow f(x)=g(x) \Longleftrightarrow 
  x=1 \ \mbox{ ou, } \ x=-2$
  
  \vspd
  De plus, $f(-2)=g(-2)=10$ et $f(1)=g(1)=4$. 

  \vsp
  \ul{On en d�duit donc que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont deux points
  d'intersection $A(-2;10)$ et $B(1;4)$}. 

  \vspd
  Le coefficient directeur de la tangente est le nombre d�riv� de la
  fonction: 
  \bgit
  \item[\ul{en $A$,}] $f'(-2)=-5 \not= g'(-2)=4$, donc les tangentes � $\Cf$ et
    $Cg$ n'ont pas le m�me coefficient directeur et ne sont donc pas
    confondues. 

  \item[\ul{en $B$,}] $f'(1)=1=g'(1)$; 
    L'�quation de la tangente � $\Cf$ est 
    $y=f'(1)(x-1)+f(1)=x+3$, et 
    l'�quation de la tangente � $\Cg$ est 
    $y=g'(1)(x-1)+g(1)=x+3$.  
  \enit

  \ul{$Cf$ et $Cg$ ont donc une tangente commune en $B(1;4)$ qui a pour
  �quation $y=x+3$. }

  \vspq
\item[2.]  \bgmp{11cm}
  \paragraph{\ul{Etude de $f$}} $f$ est un trin�me du second degr�
  donc d�fini et d�rivable sur $\R$, et 
  pour tout $x$ r�el,   $f'(x)=2x-1$.  

  \vspd
  $f$ �tant un polyn�me, ses limites en l'infini sont celles de son
  terme de plus haut degr�: 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty$, 

  et de m�me, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$.
  \enmp\hspace{0.2cm}
  \bgmp[t]{5cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $\frac{1}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
    $f'(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    &$+\infty$&&&&$+\infty$\\
    $f$ && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$} &\\
    &&&$\frac{15}{4}$&&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp


  \hspace*{-0.8cm}
  \bgmp{14cm}
  \paragraph{\ul{Etude de $g$}} $g$ est une fonction rationnelle
  d�finie et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$, et 
  pour tout
  $x\in\R\setminus\la-1\ra$, 
  $\dsp g'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}>0$

  %\vspt
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x+1}=0$, et donc, 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=6$, 
  et de m�me, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=6$, 
  
  %\vspd
  $\dsp\lim_{x\to\mbox{-}1^-}\frac{4}{x+1}=-\infty$ et donc 
  $\dsp\lim_{x\to\mbox{-}1^-}g(x)=+\infty$, 
  et de m�me,   $\dsp\lim_{x\to-1^+}g(x)=-\infty$, 
  \enmp
  \bgmp[t]{5cm}\vspace{-1.5cm}%\hspace*{-0.6cm}
  \begin{tabular}{|c|p{0.4cm}*3{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline
    $g'(x)$ && $+$ & \db & $+$ & \\\hline
    &&&\hspace{-0.6cm}$\scriptstyle +\infty$&&$6$\\
    $g$ && \Large{$\nearrow$} &
    \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.5)(0,0.7)
    \psline[linewidth=0.5pt](0.1,-0.5)(0.1,0.7)
    & \Large{$\nearrow$} &\\
    &$6$&&&\hspace{-0.5cm}$\scriptstyle -\infty$&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp

  \bgmp{9cm}
  On en d�duit que la droite d'�quation $y=6$ est asymptote � $\Cg$ en
  $-\infty$ et $+\infty$, et que la droite d'�quation $x=-1$ est
  asymptote � $\Cg$.
  \enmp\hspace{1cm}
  \bgmp{5cm}
  \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.25cm}
  \begin{pspicture}(-5,-1)(10,16)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.2,0)(6,0)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5)(0,18)
    \multido{\i=-5+1}{11}{
      \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
      %\put(\i,-0.4){$\i$}
    }
    \multido{\i=-4+4}{5}{
      \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
      %\put(-0.4,\i){$\i$}
    }
    
    \psplot[linewidth=1.pt]{-3}{4}{x x mul -1 x mul add 4 add}
    \psplot[linewidth=1.pt]{-5}{-1.35}{6 -4 x 1 add div add}
    \psplot[linewidth=1.pt]{-0.65}{5}{6 -4 x 1 add div add}
    
    \put(2.1,2.8){$\Cf$}
    \put(2.2,0.8){$\Cg$}
    \psline(-1,-5.5)(-1,17.5)
    \psline(-5,6)(5,6)
    \psplot{-5}{5}{x 3 add} % la fameuse tangente commune
    \put(2.8,2.1){$T$}
    
    \psdot(-2,10)\put(-1.4,2.1){$A$}
    \psdot(1,4)\put(0.6,.7){$B$}
  \end{pspicture}
  \enmp
\enit

\enex


\bgex
\bgit
\item[1.]. P: Montrons par r�currence que $P$ est vraie. 

Pour tout entier $n>1$, la fonction $f:x\mapsto x^n$ est une fonction
polyn�me donc d�rivable sur $\R$.

\vspd
\ul{Initialisation:} pour $n=2$, $f(x)=x^2=x\tm x$\ \ a pour d�riv�e
$f'(x)=1\tm x+x\tm1=x+x=2x$, 
soit aussi $f'(x)=2x^{2-1}$, donc $P$ est vraie pour $n=2$. 

\ul{H�r�dit�:} Supposons que $P$ soit vraie pour un certain entier
$n$: $f(x)=x^n$, et $f'(x)=nx^{n-1}$. 

Soit alors $g(x)=x^{n+1}$. 
On a $g(x)=x\,x^n=x\,f(x)$, et donc, en d�rivant ce produit: 

$g'(x)=1\,x^n+x\,f'(x)=x^n+nx\,x^{n-1}$, d'apr�s l'hypoth�se de
r�currence, 

soit encore $g'(x)=x^n+nx^n=(n+1)n^n=(n+1)x^{(n+1)-1}$. 
Donc $P$ est encore vraie au rang $n+1$. 

\vspd\noindent
On en d�duit donc, d'apr�s le principe de r�currence, que la propri�t�
$P$ est vraie pour tout entier $n\geq2$.

\vspd
Q: La d�monstration par r�currence pr�c�dente peut �tre enti�rement
reprise. Une autre m�thode, plus rapide, consiste � utiliser la
d�riv�e de fonctions compos�es: 
$f=u^n=v\circ u$, o� $v:x\mapsto x^n$, de d�riv�e $v'(x)=nx^{n-1}$
d'apr�s la propri�t� $P$ pr�c�dente.  

\vsp
Alors, $f'=u'\tm v'\circ u=u'\tm nu^{n-1}=nu'u^{n-1}$, et donc la
propri�t� $Q$ est vraie. 
\vsp


\item[2.\,a)] Pour tout $x$ de $]-\pi;0[$, 
    $\dsp
    h'(x)=\cos'(x)g'(\cos(x))=-\sin(x)\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(x)}}
    =\frac{-\sin(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}}$. 

    Or, pour $x\in]-\pi;0[$, $\sin(x)<0$, 
    d'o�, $\sqrt{\sin^2(x)}=-\sin(x)$, d'o�,
    \ul{pour tout $x\in]-\pi;0[$, $h'(x)=1$}.
    \vspd
\item[b)]
  D'apr�s ce qui pr�c�de, on en d�duit que $h(x)=x+c$, o� $c$ est un 
  nombre r�el quelconque. 

  De plus, 
  $\dsp h\lp-\frac{\pi}{2}\rp=g\lp\cos\lp-\frac{\pi}{2}\rp\rp
  =g(0)=0$, et comme, d'apr�s l'expression pr�c�dente, 

  $\dsp h\lp-\frac{\pi}{2}\rp=-\frac{\pi}{2}+c=0$, 
  on en d�duit que $\dsp c=\frac{\pi}{2}$, et donc que,
  \ul{pour tout $x\in]-\pi;0[$, $\dsp h(x)=x+\frac{\pi}{2}$}.
\enit
\enex

\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2007)}


  \bgit
  \item[1.\ a)] \ 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.9)(22,14)
  \psline[linewidth=0.8pt](-2.2,0)(22.2,0)
  \psline[linewidth=0.8pt](0,-1.5)(0,15.5)
  \put(-0.5,-0.5){$O$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(9,0)\put(2.5,-0.5){\large$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,9)\put(-0.5,1.3){\large$\vec{j}$}
  %\multido{\i=-2+1}{23}{
  %  \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](-4,\i)(25,\i)
  %}
  %\multido{\i=-4+1}{30}{
  %  \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\i,-2)(\i,20)
  %}
  
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-2}{21}{1 3 div x mul 23 27 div 9 mul add}
  \put(10,3.8){$\dsp y=\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$}
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-1.5}{16}{x}\put(8,4.5){$y=x$}

  \psdot(18,0)\put(9.1,0.1){$A$}\put(9,-0.3){$u_0$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,0)(18,13.67)
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,13.67)(0,13.67)
  \put(-0.5,4.1){$u_1$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,13.67)
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,0)
  \put(6.6,-0.3){$u_1$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,12.22)(0,12.22)
  \put(-0.5,3.7){$u_2$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,12.22)(12.22,0)
  \put(6,-0.3){$u_2$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,11.74)(0,11.74)
  \put(-0.5,3.4){$u_3$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](11.74,11.74)(11.74,0)
  \put(5.5,-0.3){$u_3$}
\end{pspicture}

   
 \item[b)] Pour tout entier $n$, 
   $\dsp u_{n+1}=f(u_n)$, avec $\dsp f:x\mapsto\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$
   qui est continue sur $\R$. 
   Ainsi, si $(u_n)$ converge vers $l\in\R$, d'apr�s le th�or�me du
   point fixe, 
   $\dsp l=\frac{1}{3}l+\frac{23}{27}$, 
   soit $\dsp \frac{2}{3}l=\frac{23}{27}$, et donc, 
   \ul{$\dsp l=\frac{23}{18}$}.
   
 \item[c)] On veut d�montrer par r�currence que pour tout entier $n$, 
   $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$. 

   \ul{Initialisation.} $\dsp u_0=2\geq \frac{23}{18}$, donc la propri�t�
   est vraie pour $n=0$.

   \ul{H�r�dit�.} Supposons que pour un entier $n$, 
   $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$. 

   Alors, $\dsp \frac{1}{3}u_n\geq \frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}$, et
   donc, 
   $\dsp \frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}\geq
   \frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}+\frac{23}{27}=\frac{23}{27}\tm\frac{3}{2}
   =\frac{23}{18}$, 
   ainsi, $\dsp u_{n+1}\geq \frac{23}{18}$. 

   \vspd
   La propri�t� est donc encore vraie au rang $n+1$. 

   On a donc montrer que, d'apr�s le principe de r�currence, 
   \ul{pour tout entier $n$, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$}.

   \vspd
 \item[d)] Pour tout $n\in\N$, 
   $\dsp u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}-u_n
   =-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}$. 

   D'apr�s la question pr�c�dente, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$, 
   et donc, 
   $\dsp -\frac{2}{3}u_n\leq -\frac{2}{3}\tm\frac{23}{18}
   =-\frac{23}{27}$. 

   On en d�duit finalement que 
   $\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}
   \leq -\frac{23}{27}+\frac{23}{27} = 0$, et ainsi que 

   \ul{la suite $(u_n)$ est d�croissante}.

   \vspd
   Comme elle est de plus, d'apr�s la question pr�c�dente minor�e par 
   $\dsp \frac{23}{18}$, elle est donc convergente vers une limite
   $l\in\R$, qui ne peut donc �tre que celle trouv�e au b): 
   \ul{la suite $(u_n)$ converge vers $\dsp l=\frac{23}{18}$}.

   \vspd
\item[2.\ a)] Il s'agit de la somme des $n-1$ premiers termes
  cons�cutifs d'une suite g�om�trique de raison $\dsp\frac{1}{10}$ et
  de premier terme $\dsp\frac{1}{10^2}$, ainsi, 
  $\dsp \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{10^k}=
  \frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}
  =\frac{1}{10^2}\frac{1-\frac{1}{10^{n}}}{1-\frac{1}{10}}
  %=\frac{1}{10^2}\frac{1-\frac{1}{10^n}}{\frac{9}{10}}
  =\frac{1}{90}\lp1-\frac{1}{10^n}\rp$. 

  \vsp
\item[b)] Pour tout entier $n$, 
  $v_n=1,277\cdots7=1,2+7.10^{-2}+7.10^{-3}+\cdots+7.10^{-(n+1)}$, 

  soit, 
  $\dsp v_n=1,2+7\lp
  \frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}\rp
  =1,2+\frac{1}{90}\lp1-\frac{1}{10^n}\rp$, 
  d'apr�s a).

  \vsp
  De plus, $\dsp \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{10^n}=0$, et donc, 
  $\dsp \lim_{n\to+\infty}(v_n)=1,2+\frac{1}{90}
  =\frac{12}{90}+\frac{1}{90}=\frac{23}{18}$.

  \ul{La limite de la suite $(v_n)$ est donc le nombre rationnel 
    $\dsp \frac{23}{18}$}. 

  \vsp
\item[3.] Pour tout entier $n$, $v_{n+1}-v_n=0,00\cdots7=7.10^{n+1}$,
  donc la suite $v$ est croissante. 
  De plus la suite $u$ est d�croissante d'apr�s 1.d). 

  Les suites $u$ et $v$ ont la m�me limites 
  $\dsp \frac{23}{18}$, et donc 
  $\dsp \lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0$. 
  \ul{Les suites $u$ et $v$ sont donc adjacentes}.
\enit
\enex


\bgex {\it (Baccalaur�at La R�union, juin 2008, 5 points)}

\bgit
\item[1.]
  \bgit
  \item[a)]
    $\dsp u_1=\lp1+\frac{2}{1}\rp u_0+\frac{6}{1}=3\tm5+6=21$. 
  \item[b)] 
    Les premiers termes de la suite $(d_n)$ sont: 
    $d_0=16$, $d_1=24$, $d_2=32$, $d_3=40$, $d_4=48$, $d_5=56$. 
    
    A partir de ces premiers termes, on peut conjecturer que $(d_n)$
    est une suite artithm�tique de raison $r=8$ et de premier terme
    $d_0=16$. 
  \enit
\item[2.] La somme des $n$ premiers termes de la suite arithm�tique
  $(v_n)$ est: 
  
  $\dsp v_0+v_1+v_2+\cdot+v_{n-1}=n\frac{v_0+v_{n-1}}{2}
  =n\frac{16+16+(n-1)8}{2}=n\lp 16+(n-1)4\rp
  =4n^2+12$. 
\item[3.] \ul{Initialisation:} pour $n=0$, $u_0=5=4\tm0^2+12\tm0+5$,
  donc la relation est vraie pour $n=0$. 
  
  \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$, 
  $u_n=4n^2+12n+5$, alors, 

  $\dsp u_{n+1}=\lp1+\frac{2}{n+1}\rp u_n+\frac{6}{n+1}
  =\lp1+\frac{2}{n+1}\rp \lp 4n^2+12n+5\rp +\frac{6}{n+1}
  $, d'apr�s l'hypoth�se de r�currence, et donc, 

  $\dsp u_{n+1}=\frac{(n+3)(4n^2+12n+5)+6}{n+1}
  =\frac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}
  $
  
  \vspd
  or, $4n^3+24n^2+41n+21=(n+1)(4n^2+20n+21)$, 
  d'o�, $u_{n+1}=4n^2+20n+21$. 

  De plus, $4(n+1)^2+12(n+1)+5=4n^2+20n+21$, 
  et donc, $u_{n+1}=4(n+1)^2+12(n+1)+5$, ce qui montre que
  l'expression est encore vraie au rang $n+1$. 

  \vsp
  On vient donc de montrer, d'apr�s le principe de r�currence que, 
  \ul{pour tout entier $n$, $u_n=4n^2+12n+5$}.
  \vsp

\item[4.] Pour tout entier $n$, 
  $d_n=u_{n+1}-u_n=
  \Big[4(n+1)^2+12(n+1)+5\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big]$, 
  soit $d_n=\Big[4n^2+20n+21\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big]
  =8n+16$, qui est bien l'expression d'une suite arithm�tique de
  raison 8 et de premier terme $d_0=16$. 
\enit
\enex



\end{document}

Télécharger le fichier source