Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

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Description

Devoir maison corrigé de mathématiques, Terminale S - Nombres complexes, barycentres et suites récurrentes imbriquées

Niveau

Terminale S

Mots clé

Devoir corrigé de mathématiques, nombres complexes, barycentre, suite, maths, TS, terminale S

Corrigé du devoir

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=15pt
\textheight=27.cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.4cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

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%\lfoot{Y. Morel}
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%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-1.1cm}


\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$




\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, Septembre 2007, 5 points)}
 
Soit les nombres complexes : 
\[z_{1} = \sqrt{2} +  \text{i}\sqrt{6},~ z_{2}  = 2 + 2\text{i}\quad  \text{et} \quad  Z =  \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\]
\begin{enumerate}
\item  �crire $Z$ sous forme alg�brique.
\item Donner les modules et arguments de $z_{1},~� z_{2}$ et $Z$.
\item En d�duire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\item Le plan est muni d'un rep�re orthonormal ; on prendra 2~cm comme unit� graphique.

On d�signe par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $Z$. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la r�gle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
\item �crire sous forme alg�brique le nombre complexe $Z^{\nombre{2007}}$.
\end{enumerate}
\enex


\bgex {\it (D'apr�s Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2006)}%, 5 points)}

\noindent Dans le plan complexe muni du rep\`ere orthonormal $\la O;\vec{u},\vec{v}\ra$, on consid\`ere les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z' = x' + \mathrm{i}y'$, o\`u $x,~x',~y,~y'$ sont des nombres r\'eels.\\
On rappelle que $\overline{z}$ d\'esigne le conjugu\'e de $z$ et que $|z|$ d\'esigne le module de $z$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $\V{\text{O}M}$ et $\V{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$ .

\item Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont align\'es si et seulement si lm($z'\overline{z}) = 0$.

%\vspd
%\hspace{-0,5cm}\textbf{Applications}
%
%\item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des
%points $M$ tels que les vecteurs $\V{\text{O}M}$ et $\V{\text{O}N}$
%soient orthogonaux ? 
%
%\item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d' affixe $\dfrac{1}{z^2}-1$.\\
%On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe z tels que les points
%O, $N$ et $P$ soient align\'es. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que
%$\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2-1}\right)=-\overline{z}^2\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2$. 
%
%\item En utilisant l'\'equivalence d\'emontr\'ee au d\'ebut de
%l'exercice, conclure sur l'ensemble recherch\'e.  
%
%\end{enumerate}
\end{enumerate}

\enex


\bgex {\it (Baccalaur�at Antilles-Guyane, Juin 2000, 5 points)}

\begin{enumerate}\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z + 
7$.\\ 
\begin{enumerate}\item Calculer $P(-~1)$ .\\ 
\item D\'eterminer les r\'eels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on 
ait : 
\[P(z) = (z+1)(z^2 + az + b).\] 
\item R\'esoudre dans C l'\'equation $P(z) = 0$. 
\end{enumerate} 
\item Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct $(O~ ;~ 
\vec{u},~\vec{v})$. (Unit\'e graphique : 2 cm.) On d\'esigne par $A,~ B,~ C$ et $G$ 
les points du plan d'affixes respectives 
\[z_{\text{A}} = - 1 ,~ z_{\text{B}} = 2 + \text{i}\sqrt{3},~ 
z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad 
z_{\text{G}} = 3.\] 
\begin{enumerate}\item R\'ealiser une figure et placer les points A,~ B,~ C et G.\\ 
\item Calculer les distances AB,~ BC et AC. En d\'eduire la nature du triangle 
ABC.\\ 
\item Calculer un argument du nombre complexe $\cfrac{z_{\text{A}} - 
z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$ . En d\'eduire la nature du triangle 
GAC. 
\end{enumerate} 
\item Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 
\[\left(-~\V{M\text{A}} + 2\V{M\text{B}} + 
2\V{M\text{C}}\right) \cdot \V{\text{CG}} = + 12~~ (1)\] 
\begin{enumerate}\item Montrer que $G$ est le barycentre du syst\`eme de points pond\'er\'es 
\[\left\{(\text{A},~ - 1 )~ ;~ (\text{B},~ 2)~ ;~ (\text{C},~ 2) 
\right\}.\] 
\item Montrer que la relation (1) est \'equivalente \`a la relation 
$\V{\text{G}M}. \V{\text{CG}} = - 4 \quad (2)$.\\ 
\item V\'erifier que le point A appartient \`a l'ensemble $(D)$.\\ 
\item Montrer que la relation (2) est \'equivalente \`a la relation 
$\V{\text{A}M} .\V{\text{GC}} = 0$.\\ 
\item En d\'eduire l'ensemble $(D)$ et le tracer. 
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\enex


\bgex {\it (Baccalaur�at Nouvelle-Cal�donie, Novembre 2004, 5 points)}

On consid\`ere les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ d\'efinies, pour tout 
entier naturel $n$, par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 & =&3\\
u_{n+1} & =& \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c l}
v_0 & =&4\\
v_{n+1} & =& \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right.\]

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1,~ v_1,~u_2$ et $v_2$.

\item Soit la suite $\left(w_n\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par : 
$w_n = v_n - u_n$.

	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{1}{4}$.
		\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et pr\'eciser la limite de la suite $\left(w_n\right)$.
	\end{enumerate}

\item Apr\`es avoir \'etudi\'e le sens de variation de suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, d\'emontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en d\'eduire ?

\item On consid\`ere \`a pr\'e\'esent la suite $\left(t_n\right)$ d\'efinie, pour tout 
entier naturel $n$, par $t_n = \dfrac{u_n  + 2v_n}{3}$. 

	\begin{enumerate}
		 \item D\'emontrer que la suite $\left(t_n\right)$ est constante.
		\item En d\'eduire la limite des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\enex

\end{document}

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