Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=15pt
\textheight=27.cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
%\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1.1cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, Septembre 2007, 5 points)}
\begin{enumerate}
\item On a
$\dsp Z = \frac{z_{1}}{z_{2}}
= \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{6}}{2 + 2i}
= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i}
= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}
= \frac{\sqrt{2}}{4}\left[1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right) \right]$.
\item %Modules et arguments :
\bgit
\item $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$. On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$.
\item On a de m�me $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$, puis $z_{2} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
Donc arg$(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$.
\item Il suit
arg$(Z)=arg(\dsp\frac{z_1}{z_2}=$arg$(z_1)-$arg$(z_2)=$
$\dsp\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}~~[2\pi]$.
%$Z = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{\pi}{3} - \frac%{\pi}{4}\right)} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
et $\dsp |Z| = \frac{|z_1|}{|z_2|}=1$.
\enit
\item On en d�duit que
$Z = \cos \lp \dfrac{\pi}{12}\rp + i\sin \lp
\dfrac{\pi}{12}\rp$ et par identification avec la forme alg�brique
du 1):
\[\cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) =
\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lp 1 +\sqrt{3}\rp
~~\text{et}~~
\sin \left( \dfrac{\pi}{12}\right)
=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lp \sqrt{3} - 1\rp \]
\item
\bgmp[t]{10cm}
On place facilement le point B(2 ; 2) :
Le point A d'affixe $z_{1}$ est obtenu en construisant la m�diatrice
du segment [OI].
Le point D est obtenu en construisant la bissectrice de $\widehat{\text{IOA}}$.
Le point C avec la bissectrice de $\widehat{\text{IOD}}$ et le cercle
de centre O et de rayon 1.
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-3,3)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,0)(3,3)
\psarc(0,0){2.858}{0}{180}
\psarc(0,0){1}{0}{180}
\psline(0,0)(2,2) \psline[linestyle=dashed](1.414,-0.3)(1.414,3)
\SpecialCoor
\psline(0;0)(2.828;60) \psline(0;0)(2.828;30)\psline(0;0)(2.828;45)
\psline(0;0)(1;15)\uput[d](0;0){O} \uput[d](2.828;0){I}
\uput[ur](2.828;60){A$\left(\frac{\pi}{6}\right)$} \uput[ur](2.828;45){B$\left(\frac{\pi}{4}\right)$} \uput[ur](2.828;30){D$\left(\frac{\pi}{6}\right)$} \uput[ur](1;15){C$\left(\frac{\pi}{12}\right)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\enmp
\item Le module :
$\left|Z^{2007} \right| = |Z|^{2007} = 1^{2007} = 1$.
L'argument : arg$\left(Z^{2007} \right) = 2007\tm \dfrac{\pi}{12}=
\dfrac{669\pi}{4} = \dfrac{672\pi - 3\pi}{4} =
168\pi - \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4}~~[2\pi]$.
On a donc
$\dsp Z^{2007} = e^{-\frac{3\pi}{4}} = \cos
\left(-\frac{3\pi}{4} \right) + i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}
\right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - i\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
\end{enumerate}
\enex
\bgex {\it (D'apr�s baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2006)}
\begin{enumerate}
\item $\V{\text{O}M}(x~;~y)$ et $\V{\text{O}M'}(x'~;~y')$.
$\V{\text{O}M}$ et $\V{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si $\V{\text{O}M} \cdot \V{\text{O}M'}(x'~;~y') = 0 \iff xx' + yy' = 0.$
Or $z'\overline{z} = (x' + \text{i}y')(x - \text{i}y) = xx' + yy' + \text{i}(xy' - x'y).$ D'o� Re$\left(z'\overline{z} \right) = xx' + yy'$.
Conclusion : $\V{\text{O}M}$ et $\V{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$.
\item De m�me O, $M$ et $M'$ sont align�s si et seulement si leurs coordonn�es sont proportionnelles, soit si $y = \alpha x$ et $y' = \alpha x'$ soit si $xy' - x'y = 0$.
Or Im$\left(z'\overline{z} \right) = xy' - x'y$.
Conclusion : O, $M$ et $M'$ sont align�s si et seulement si Im($z'\overline{z}) = 0$.
\medskip
%\hspace{-0,5cm}\textbf{Applications}
%
%\medskip
%
%\item Soit $N\left(z^2 - 1 \right)$. D'apr�s la question
%1. $\V{\text{O}M}$ et $\V{\text{O}N}$ sont orthogonaux si et
%seulement si Re($\overline{z}\left(z^2 - 1 \right)) = 0 \iff
%\text{Re}\left[(x - \text{i}y)\left(x^2 - y^2 - 1 +
%2\text{i}xy\right) \right] = 0 \iff x \left(x^2 - y^2 - 1\right) +
%2xy^2 = 0\iff x \left(x^2 - 1\right) = 0 \iff x = 0 ~\text{ou}~x^2 +
%y^2 - 1 = 0 \iff x = 0 ~\text{ou}~x^2 + y^2 = 1$.
%
%L'ensemble des points $M$ est donc la r�union de l'axe des ordonn�es
%($x = 0$) et du cercle centr� en O et de rayon $1$ ($x^2 + y^2 =
%1$).
%\item $P\left(\dfrac{1}{z^2} - 1\right)$.
% \begin{enumerate}
% \item Pour tout $z \in \C^*$\\
%\begin{align*}
% \left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2 -
%1}\right) &=\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)
%\overline{\left[-z^2\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\right]}\\
% &=
%\overline{-z^2}\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\overline{\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)}
%\\
% &= \overline{-z^2}\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2\\
% &=-\overline{z}^2 \left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2
% \end{align*}
% \item O, $N$ et $P$ sont align�s d'apr�s 2. si et
%seulement si
%Im$\left[\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2 - 1}\right)
%\right] = 0 \iff \text{Im}\left[ -\overline{z}^2
%\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 \right] = 0 \iff
%\text{Im}\left(-\overline{z}^2 \right) = 0~ \iff \text{Im}\left(-x^2
%+2\text{i}xy + y^2\right) = 0
%~\text{ou}~\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 = 0 \iff xy = 0 ~\text{ou}
%~ \dfrac{1}{z^2}-1 = 0 \iff x = 0~\text{ou}~y =
%0~\text{ou}~\dfrac{1}{z^2} = 1 \iff x = 0~\text{ou}~y = 0~\text{ou}~z
%= - 1~\text{ou}~z = 1$.
%
%Conclusion : l'ensemble des points $M$ tels que O, $N$ et $P$ sont
%align�s est la r�union des deux axes de coordonn�es (except�
%l'origine O).
% \end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at Antilles-Guyane, Juin 2000, 5 points)}
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[(a)] $P(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+3(-1)+7=0$
\item[(b)] $(z+1)(z^2+az+b)=z^3+(a+1)z^2+(b+a)z+b$
donc,
$P(z)=z^3-3z^2+3z+7=(z+1)(z^2+az+b)\iff
\la\bgar{l}
a+1=-3\\
a+b=3\\
b=7
\enar\right.
\iff\la\bgar{l} a=-4\\b=7\enar\right.$,
d'o�, \ul{$P(z)=(z+1)(z^2-4z+7)$}.
\item[(c)] Le trin�me $z^2-4z+7$ a pour discriminant:
$\Delta=16-28=-12<0$, et admet donc deux racines complexes
conjugu�es.
Au final,
\ul{$P(z)=0 \iff z\in\la -1; 2-i\sqrt{3};2+i\sqrt{3}\ra$}.
\enit
\item[2.]
\bgit
\item[(a)]
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,2)(4,2)
\psline{->}(-2,0)(4,0)
\psline{->}(0,-2.5)(0,2.5)\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{v}$}
\rput(-1,0){$\tm$}\rput(-1,0.3){$A$}\rput(-1,-0.3){-$1$}
\rput(2,1.732){$\tm$}\rput(2,2.1){$B$}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,1.732)(2,1.732)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2,0)(2,1.732)
\rput(-0.4,1.73){$\sqrt{3}$}\rput(2.,-0.3){$2$}
\rput(2,-1.732){$\tm$}\rput(2,-2.1){$C$}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,-1.732)(2,-1.732)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2,0)(2,-1.732)
\rput(-0.4,-1.73){-$\sqrt{3}$}
\rput(3,0){$\tm$}\rput(3,0.3){$G$}\rput(3,-0.3){$3$}
% Ensemble (D)
\psline(-2,0.577)(3,-2.309)\rput(-1.8,0.8){$(D)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{12cm}
\item[(b)] $AB=|z_B-z_A|=|(2+i\sqrt{3})-(-1)|=2\sqrt{3}$
\vspd
$BC=|z_C-z_B|=(2-i\sqrt{3})-(2+i\sqrt{3})|=2\sqrt{3}$
\vspd
$AC=|z_C-z_A|=(2-i\sqrt{3})-(-1)|=2\sqrt{3}$
\vspd
On en d�duit que \ul{le triangle $ABC$ est �quilat�ral}.
\vspd
\item[(c)]
$\bgar[t]{ll}
Z
&\dsp=\frac{z_A-z_C}{z_G-z_C}
=\frac{-1-(2-i\sqrt{3})}{3-(2-i\sqrt{3})} \vspd\\
&\dsp=\frac{1}{4}\lp -3+i\sqrt{3}\rp \lp 1-i\sqrt{3}\rp
=\frac{1}{4}(4i\sqrt{3})=i\sqrt{3}
\enar$
\enmp
\vspd
On a donc $Z\in i\R$, donc arg$(Z)=\dfrac{\pi}{2}$.
Comme de plus, arg$(Z)=(\V{CG},\V{CA})$,
on en d�duit que \ul{le triangle $GAC$ est rectangle en $C$}.
\enit
\item[3.]
\bgit
\item[(a)] Le barycentre de $\la (A;-1);(B;2);(C;2)\ra$ a pour
affixe
$\dsp z=\frac{-z_A+2z_b+2z_C}{-1+2+2}$,
soit,
$\dsp z=\frac{1+2(2+i\sqrt{3})+2(2-i\sqrt{3})}{3}=3$.
Ainsi, \ul{$G$ est bien le barycentre de $\la (A;-1);(B;2);(C;2)\ra$}.
\item[(b)] Pour tout point $M$, on a
$-\V{MA}+2\V{MB}+2\V{MC}=(-1+2+2)\V{MG}=3\V{MG}$,
d'o�,
$(1) \iff -3\V{MG}\cdot\V{CG}=12
\iff 3\V{GM}\cdot\V{CG}=-12
\iff \V{GM}\cdot\V{CG}=-4$
\item[(c)] $A(-1;0)$, donc $\V{GA}(-4;0)$.
De plus $\V{CG}$ a pour affixe $z_G-z_C=1+i\sqrt{3}$,
soit aussi
$\V{CG}(1;\sqrt{3})$.
On a alors
$\V{GA}\cdot\V{CG}=-4\tm1+0\tm\sqrt{3}=-4$.
D'o�, \ul{$A\in (D)$}.
\item[(d)]
$ (2)\ \V{GM}\cdot\V{CG}=-4
\iff \lp \V{GA}+\V{AM}\rp\cdot\V{CG}=-4
\iff \underbrace{\V{GA}\cdot\V{CG}}_{-4}+\V{AM}\cdot\V{CG}=-4$
\vspace{-0.2cm}
et donc, \ul{$(2) \iff \V{AM}\cdot\V{CG}=0$}.
\vspd
\item[(e)] On d�duit de la question pr�c�dente que $(D)$ est
la droite perpendiculaire � $(CG)$ passant par $A$, et comme $GAC$
est rectangle en $C$,
\ul{l'ensemble $(D)$ est finalement la droite $(AC)$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at Nouvelle-Cal�donie, Novembre 2004, 5 points)}
%On consid�re les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ d�finies,% pour tout entier naturel $n$, par :
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_0 & =&3\\
%u_{n+1} & =& \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\\
%\end{array} \right. \qquad
%\left\{\begin{array}{l c l}
%v_0 & =&4\\
%v_{n+1} & =& \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2}\\
%\end{array} \right.\]
\begin{enumerate}
\item $u_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = \dfrac{7}{2},~ v_1 = \dfrac{\frac{7}{2} + 4}{2} = \dfrac{15}{4},~u_2 = \dfrac{\frac{7}{2} + \frac{15}{4}}{2} = \dfrac{29}{8}$ et $v_2 = \dfrac{frac{29}{8} + \frac{15}{4}}{2} = \dfrac{59}{16}$.
\item %Soit la suite $w_n = v_n - u_n$.
\begin{enumerate}
\item Calculons
$w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}+ v_{n}}{2}-u_{n+1}
= \dfrac{u_{n+1} + v_{n} - 2u_{n+1}}{2}
= \dfrac{v_{n} - u_{n+1}}{2}
= \dfrac{v_{n} - \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}}{2}
= \dfrac{v_{n} - u_{n}}{4}
= \dfrac{1}{4}w_{n}$.
La suite $\left(w_{n} \right)$
est donc une suite g�om�trique de raison $\dfrac{1}{4}$.
\item On sait que donc $w_n = w_{0}\times \left(\dfrac{1}{4} \right)^n$;
or $w_{0} = 4 - 3 = 1$.
Donc pour tout entier $n$, $w_{n} = \dfrac{1}{4^n}$.\\
Comme la raison $\dfrac{1}{4}$ est comprise entre $0$ et $1$,
on sait de plus que $\dsp\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{4^n} = 0_{+}$.
\end{enumerate}
\item On a $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2} = \dfrac{w_{n}}{2} > 0$, car la suite $\left(w_{n} \right)$ est positive.
\ul{$\left(u_n\right)$ est donc croissante}.\\
De m�me $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2} - v_{n} = \dfrac{\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2} - v_{n}}{2} = \dfrac{u_{n} - v_{n}}{4} = - \dfrac{1}{4}\left(v_{n} - u_{n}\right) = - \dfrac{1}{4}w_{n} < 0$.\\
La suite $\left(v_n\right)$ est donc d�croissante.
D'autre part la diff�rence $v_{n} - u_{n}=w_{n}$ a pour limite $0$.\\
Les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont donc
adjacentes. Elles ont donc la m�me limite $\ell$.
\item %Soit $t_n = \dfrac{u_n + 2v_n}{3}$.
\begin{enumerate}
\item On a
$t_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} + 2v_{n+1}}{3}
= \dfrac{\frac{u_{n} + v_{n}}{2} + u_{n+1} + v_{n}}{3}
= \dfrac{u_{n} + v_{n} + 2v_{n} + u_{n} + v_{n}}{6}
= \dfrac{u_n + 2v_n}{3} = t_{n}$.\\
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc constante et
$t_{n} = t_{0}\dfrac{u_{0}+2v_{0}}{3} = \dfrac{11}{3}$.
\item De $t_n = \dfrac{u_n + 2v_n}{3}$,
on d�duit que
$\dsp\lim_{n \to + \infty} t_{n} = \dfrac{11}{3}
= \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n + 2v_n}{3} =
\dfrac{\ell+2\ell}{3}=\ell.$
Conclusion :
$\dsp\lim_{n \to + \infty} u_{n}
= \displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n}
= \dfrac{11}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\end{document}
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