Source Latex
sujet du devoir
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}\cfoot{}
\rfoot{Baccalauréat S - Ammérique du nord - 1er juin 2016 - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\Large\textbf{Baccalauréat S - Amérique du nord - 1er juin 2016}}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 1}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{6 points}
\medskip
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux
machines de production A et B.
L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue uniquement
lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.
\smallskip
\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}
\smallskip
\textbf{Partie A}
Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les
résultats suivants:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 96\,\% de la production journalière est vendable.
\item[$\bullet$] La machine A fournit 60\,\% de la production journalière.
\item[$\bullet$] La proportion de billes vendables parmi la production
de la machine A est 98\,\%.
\end{itemize}
\smallskip
On choisit une bille au hasard dans la production d'un jour donné. On
définit les évènements suivants :
$A$ : \og la bille a été fabriquée par la machine A \fg{} ;
$B$ : \og la bille a été fabriquée par la machine B \fg{} ;
$V$ : \og la bille est vendable \fg.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et
provienne de la machine A.
\item Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité
que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la
machine B.
\item Un technicien affirme que 70\,\% des billes non vendables
proviennent de la machine B.
A-t-il raison ?
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre, exprimé en cm, des
billes produites par les machines A et B.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d'une
bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une
variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu=1$
et d'écart-type $\sigma = 0,055$.
Vérifier que la probabilité qu'une bille produite par la machine B
soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième
près.
\item De la même façon, le diamètre d'une bille prélevée au hasard
dans la production de la machine A est modélisé à l'aide d'une
variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu=1$
et d'écart-type $\sigma',\: \sigma'$ étant un réel strictement
positif.
Sachant que $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98$, déterminer une
valeur approchée au millième de $\sigma'$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte
de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou
rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en
sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le
remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif
avec remise de billes dans la production journalière.
Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement
attirés par les billes de couleur noire.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de
40 billes.
\begin{enumerate}[a)]
\item On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la
probabilité que le sachet choisi contienne exactement $10$ billes
noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
\item Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes
noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de
la machine qui teinte les billes ?
\end{enumerate}
\item Si l'entreprise souhaite que la probabilité d'obtenir au moins
une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99\,\%,
quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour
atteindre cet objectif ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Exercice 2}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{6 points}
\bgmp{11.5cm}
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau.
Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des
charges suivant:
\begin{itemize}
\item elle doit être située à deux mètres de sa maison;
\item la profondeur maximale doit être de deux
mètres;
\item elle doit mesurer cinq mètres de long;
\item elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
\end{itemize}
Cette cuve est schématisée ci-contre.\enmp
\bgmp{7cm}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.8,-0.5)(7,5)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7)
\rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}}
\psline(2.1,2.7)(5.4,2)
\psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7)
\psline(2,1.8)(5.4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05)
\uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m}
\end{pspicture}
\enmp
La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la
fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$ définie par:
\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]
La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère
orthonormé \textbf{d'unité 1m} et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2e;2)$.
\[\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5)
\uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psdots(2,2)(5.437,2)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub}
\uput[u](2,2){$A$}
\uput[u](5.437,2){$B$}
\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](2,0){$I$}
\uput[dr](3.437,0){$D$}
\rput(1,1){Terrain}
\rput(3.2,1.2){Cuve}
\rput(4.7,0.5){Terrain}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2)
\end{pspicture*}\]
\medskip
\textbf{Partie A}\quad
L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe
$\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe
$\mathcal{C}_f$ au point $I$.
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au
point $B$, et $D$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$
avec l'axe des abscisses.
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en
déduire les coordonnées de $D$.
\item On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe
$\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y=2$, $x=2$ et $x=2e$.
$S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du
trapèze $AIDB$.
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que, sur l'intervalle $[2;2e]$,
la fonction $G$ définie par
\[G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-\dfrac{x^2}{4}\]
est une primitive de la fonction $g$ définie par
$g(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur
l'intervalle $[2;2e]$.
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une
valeur approchée du volume $V$ de la cuve au $m^3$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\bgmp{11cm}\textbf{Partie B}\quad Pour tout réel $x$ compris
entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$,
se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est
égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~2e],
\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2)
\psline(0,-0.5)(0,3.5)
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)}
\rput{3}(0,0){
\psline(-0.5,0)(6,0)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}}
}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75)
\psline(5.08,1.75)(2,1.5)
}
\pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95)
\psline(2,1.85)(2,1.5)
\psline(0.35,2.7)(0.35,2.3)
\pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37)
\uput[d](5.2,0.3){$x$}
\uput[l](0,1.37){$f(x)$}
\multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}\]
\enmp
\begin{enumerate}
\item Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque
la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
\item On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la
fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans
la partie B.
\bgmp{7.5cm}On considère l'algorithme ci-contre.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.\enmp \quad
\bgmp{9cm}
\[\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables:&$a$ est un réel\\
&$b$ est un réel\\
Traitement:&$a$ prend la valeur 2\\
&$b$ prend la valeur 2 e\\
&Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
$c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\
Si $v(c) < V/2$, alors :\\
\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
$a$ prend la valeur c\\
\end{tabular}\\
Sinon\\
\hspace{0.4cm} \begin{tabular}{|l}
$b$ prend la valeur $c$\\
\end{tabular}\\
Fin Si\\
\end{tabular}\\
&Fin Tant que\\
Sortie: &Afficher $f(c)$\\ \hline
\end{tabular}\]
\enmp
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Exercice 3}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{3 points}
\medskip
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
$\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$.
On considère le point $A$ d'affixe 4, le point $B$ d'affixe $4i$
et les points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ est un carré de centre $O$.
Pour tout entier naturel non nul $n$,
on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n=(1+i)^n$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Écrire le nombre $1+i$ sous forme exponentielle.
\item Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on
précisera, tel que, pour tout entier
$n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Exercice 4}
\hrulefill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité\hrulefill
\textbf{5 points}
\medskip
On considère la pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ constituée de
la base carrée $ABCD$ et de triangles équilatéraux représentée
ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(0,-.2)(15,7.6)
%ABCDBCA
\pspolygon(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)
%verticaleOS
\psline{->}(6.95,0)(6.95,8.6)
%SDASBCS
\psline(6.95,7.4)(0.9,1.4)(4.5,0)(6.95,7.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(6.95,7.4)
\psdots(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(6.95,7.4)(6.95,1.1)(6.95,4.4)
\psline{->}(12.8,0.8)(14.7,0.6)
\psline{->}(9.4,2.2)(10.2,2.6)
\uput[ur](6.95,7.4){S}
\uput[dr](4.5,0){A}
\uput[ur](12.8,0.8){B}
\uput[ur](9.3,2.2){C}
\uput[ul](0.9,1.4){D}
\uput[ur](6.9,1.1){O}
\uput[r](6.95,4.4){I}
\end{pspicture}
\end{center}
Le point $O$ est le centre de la base $ABCD$ avec $OB=1$.
On rappelle que le segment $[SO]$ est la hauteur de la pyramide et que
toutes les arêtes ont la même longueur.
\begin{enumerate}
\item Justifier que le repère $\lp O;\V{OB},\V{OC},\V{OS}\rp$ est
orthonormé.
Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère
$\lp O;\V{OB},\V{OC},\V{OS}\rp$.
\item On définit le point $K$ par la relation $\V{SK}=\dfrac13\V{SD}$
et on note $I$ le milieu du segment $[SO]$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer les coordonnées du point $K$.
\item En déduire que les points $B$, $I$ et $K$ sont alignés.
\item On note $L$ le point d'intersection de l'arête $[SA]$ avec le
plan $(BCI)$.
Justifier que les droites $(AD)$ et $(KL)$ sont parallèles.
\item Déterminer les coordonnées du point $L$.
\end{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vec{n}\lp\bgar{c}1\\1\\2\enar\rp$
dans le repère $\lp O;\V{OB},\V{OC},\V{OS}\rp$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCI)$.
\item Montrer que les vecteurs $\vec{n}$, $\V{AS}$ et $\V{DS}$ sont
coplanaires.
\item Quelle est la position relative des plans $(BCI)$ et $(SAD)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 4}
\hrulefill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité\hrulefill
\textbf{5 points}
\medskip
On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au
départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient
deux boules noires.
On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante
: chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée,
une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable
aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l'urne U à
la fin du $n$-ième tirage.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \lp X_{n+1} = 1\rp$
puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes:
$P_{(X_n=0)} \lp X_{n+1} = 1\rp$ ,
$P_{(X_n=1)} \lp X_{n+1} = 1\rp$
et
$P_{(X_n=2)} \lp X_{n+1} = 1\rp$.
\item Exprimer $P\lp X_{n+1} = 1\rp$ en fonction de
$P\lp X_n = 0\rp$, $P\lp X_n = 1\rp$
et $P\lp X_n = 2\rp$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$
la matrice ligne définie par:
\[R_n=
\begin{pmatrix}
P\lp X_n = 0\rp
& P\lp X_n = 1\rp
& P\lp X_n = 2\rp
\end{pmatrix}\]
et on considère $M$ la matrice
$\begin{pmatrix}
0&1&0\\
\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\
0&1&0
\end{pmatrix}$.
On note $R_0$ la matrice ligne
$\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n$,
$R_{n+1} = R_n \tm M$.
Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n$,
$R_n = R_0 \tm M^n$.
\item On admet que $M = P \tm D \tm P^{- 1}$ avec :
\[P = \dfrac16
\begin{pmatrix}
2&3&1\\
- 1&0&1\\
2&- 3&1
\end{pmatrix},
\quad
D=
\begin{pmatrix}
- \dfrac{1}{2}&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\quad\text{ et }\quad
P^{-1}=
\begin{pmatrix}
1&-2&1\\
1&0&- 1\\
1&4&1
\end{pmatrix}.\]
Établir que, pour tout entier naturel $n$,
$M^n = P \tm D^n \tm P^{-1}$.
On admettra que, pour tout entier naturel $n$,
$D^n = \begin{pmatrix}\lp-\dfrac12\rp^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$.
\item Sachant que
$R_0P=\begin{pmatrix}\dfrac13&-\dfrac12&\dfrac16\end{pmatrix}$,
déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Déterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty} P\lp X_n=0\rp$,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} P\lp X_n=1\rp$ et
$\dsp\lim_{n\to+\infty} P\lp X_n=2\rp$.
Interpréter ces résultats.
\end{enumerate}
\label{LastPage}
\end{document}
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